[論文レビュー] Geometry without Topology

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Feb 20, 2000

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、曲線や連続性といった位相的概念に依存せずに、距離関数と有限距離部分空間にのみ依存する幾何学—特にリーマン幾何学—の定式化を提案する。ヘロンの公式を用いて三角形の面積が消えることによって直線を定義することで、曲線や位相に依存しない幾何学が可能となり、非退化で非連続な幾何学が構築可能となる。この幾何学は、非退化な同一直線上の点の集合（同一直線上の点の集合）を自然に含み、量子力学的効果が非連続性に起因するものとして自然に現れる。

ABSTRACT

The proper Euclidean geometry is considered to be metric space and described in terms of only metric and finite metric subspaces (sigma-immanent description). Constructing the geometry, one does not use topology and topological properties. For instance, the straight, passing through points A and B, is defined as a set of such points R that the area S(A,B,R) of the triangle ABR vanishes. The triangle area is expressed via metric by means of the Hero's formula, and the straight appears to be defined only via metric, i.e. without a reference to (topological) concept of curve. (Usually the straight is defined as the shortest curve, connecting two points A and B). Such a construction of geometry is free from constraints (continuity, dimensionality of space), generated by a use of topology, but not by geometry in itself. At such a description all information on the geometry properties (such as uniformity, isotropy, continuity and degeneracy) is contained in metric. Modifying the metric, one changes the geometry automatically. The Riemannian geometry is constructed by two different ways: (1) by conventional way on the basis of metric tensor, (2) as a result of modification of the metric in the sigma-immanent description of the proper Euclidean geometry. The two obtained geometries are compared. The convexity problem in geometry and the problem of collinerity of vectors at distant points are considered. The nonmetric definition of curve is shown to be a concept of only proper Euclidean geometry. It is inadequate to any non-Euclidean geometry.

研究の動機と目的

• 位相的要素や曲線の概念に依存しない幾何学の定式化を構築すること。
• メトリックを変更しつつも幾何的構造を保つように、ユークリッド幾何学を一般化すること。
• 測地線を最短路として定義しないことで、リーマン幾何学における基礎的問題（凸性問題や経路依存平行移動）を解決すること。
• 量子力学的挙動が非退化な同一直線上の点の集合と世界管の厚さから自然に生じる幾何学を構築すること。
• プランク定数 ħ が量子力学の仮定ではなく、時空の幾何的性質として生じることを示すこと。

提案手法

• 点間の距離 ρ(P,Q) のみに依存し、連続性、曲線、位相の概念を一切参照しないように幾何学を定義する。
• 三角形 ABR の面積 S(A,B,R) がゼロになる点 R の集合として直線を定義し、ヘロンの公式を用いる。
• 幾何的対象を表すために、有限距離部分空間（σ部分空間）と多重ベクトル（離散集合から点の集合への写像）を用いる。
• 2通りの方法でリーマン幾何学を構築する：(1) 標準的な計量テンソルのアプローチ、(2) ユークリッド幾何学のσ内在的記述の修正。
• 粒子の軌道の物理的実現として「世界管」を導入し、その厚さが量子効果をモデル化する。
• 連続的な曲線の代わりに、離散的多重ベクトル（例：m_n: {0,1,...,n} → Ω）を用いることで、複雑さを軽減し、位相的仮定を排除する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的曲線や連続性の概念に依存せずに幾何学を構築できるか？
• RQ2 最短経路を用いずに、距離関数のみで直線を定義できるか？
• RQ3 位相的要素を排除し、有限距離部分空間にのみ依存する幾何学において、同一直線上の点や平行線といった基本的性質はどのように変化するか？
• RQ4 量子力学を仮定せず、非退化で非連続な幾何学から量子現象が自然に生じるか？
• RQ5 プランク定数 ħ が世界管の厚さという幾何的性質として生じるような時空の幾何的モデルは存在するか？

主な発見

• ヘロンの公式を用いて三角形 ABR の面積がゼロになることにより、曲線の概念を必要とせず、距離関数のみで直線を定義可能である。
• 凸性問題—領域を除去すると遠くの幾何的性質が変化する—は、距離関数が曲線の概念に依存するため生じるが、σ内在的アプローチではこれを回避できる。
• 修正された幾何学において、遠くの点の同一直線上の点の集合が退化せず、経路依存的な平行移動が生じる。これは一般相対性理論と整合的だが、絶対的平行移動とは整合しない。
• 同一直線上の点の集合の非退化性により、自由粒子の世界管に確率的性質が生じ、これが量子力学の統計的挙動を再現できることを示せる。
• プランク定数 ħ は、世界管の厚さに関連する幾何的性質として生じる。これは、量子力学が小スケールにおける時空の幾何学の結果である可能性を示唆している。