[論文レビュー] Gerbes in classical Chern-Simons theory

Kiyonori Gomi|ArXiv.org|May 8, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、閉じた1次元多様体上のSU(2)-バンドルに対する古典的 Chern-Simons 理論において、ループ群の中心拡大と torsor のリフトを用いて、$\mathbb{T}$-gerbe の幾何的構成を与える。主な貢献は、接続の空間上に自然な $\mathbb{T}$-gerbe $\mathcal{B}_R(a)$ を構成し、境界を持つ2-バンドルに対して標準的なリフト $\widehat{B}_Q(A)$ を得ることであり、それらはグリューニング法などの基本的性質を満たす。

ABSTRACT

We construct geometrically a gerbe assigned to a connection on a principal SU(2)-bundle over an oriented closed 1-dimensional manifold. If the connection is given by the restriction of a connection on a bundle over a compact 2-manifold bounding the 1-manifold, then we have a natural object in the gerbe. The gerbes and the objects satisfy certain fundamental properties, e.g. gluing law.

研究の動機と目的

• 閉じた1次元多様体上のSU(2)-バンドルの接続に関連する $\mathbb{T}$-gerbe の幾何的構成。
• Mickelsson の方法を用いて、$\mathcal{G}_S$-torsor の構造群を中心拡大 $\widehat{\mathcal{G}}_S$ に標準的にリフトすることの定義。
• 境界を持つ2次元多様体上の接続のリフトと、境界上の $\mathbb{T}$-gerbe に属する対象との間の対応の確立。
• $\mathbb{T}$-gerbe とリフトがグリューニング法などの基本的性質を満たすことを証明し、トポロジカル量子場理論の公理を一般化すること。
• 今後検討される予定の、1-バンドルの接続空間上に存在するグローバルな幾何的対象（Dixmier-Douady gerbe）の基礎を構築すること。

提案手法

• 接続空間 $\mathcal{A}_R$ 上に、$\mathcal{G}_S = \mathrm{Map}(S, SU(2))$ が単純推移的に作用する自明な $\mathcal{G}_S$-バンドル $B_R = \mathcal{A}_R \times \mathcal{S}_R$ を構成する。
• Mickelsson の方法を用いて、ループ群 $\mathcal{G}_S$ の中心拡大 $1 \to \mathbb{T} \to \widehat{\mathcal{G}}_S \to \mathcal{G}_S \to 1$ を構成する。
• $\mathcal{G}_S$-torsor $B_R(a)$ を $\widehat{\mathcal{G}}_S$-torsor にリフトする対象のなす圏 $\mathcal{B}_R(a)$ を定義し、これは $\mathcal{A}_R$ 上の $\mathbb{T}$-gerbe となる。
• 境界 $\partial\Sigma$ を持つコンパクトな2次元多様体 $\Sigma$ 上の2-バンドル $Q$ に対して、$\sigma_Q \in \mathcal{S}_Q$ を用いて、$\mathcal{B}_{\partial Q}(\partial A)$ 内に標準的なリフト $\widehat{B}_Q(A)$ を構成する。
• 中心拡大と積分論を用いて、三重のリフトのトレースを $\mathbb{T}$-torsor に同定することにより、グリューニング法を確立する。
• ゲージ変換によって誘導される同型を用いて、構成が自明化の選択に依存しない（一意同型の意味で）ことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(2)-バンドルの1次元多様体上における古典的 Chern-Simons 理論において、$\mathbb{T}$-gerbe をどのように幾何的に構成できるか？
• RQ2 ループ群の中心拡大は、1次元多様体上の接続のためのgerbe 構造を実現するために果たす役割は何か？
• RQ3 $\mathcal{G}_S$-torsor を $\widehat{\mathcal{G}}_S$-torsor にリフトすることは、Chern-Simons作用素と境界条件とどのように関係するか？
• RQ4 この幾何的枠組みにおいて、gerbe とリフトのグリューニング法を厳密に確立できるか？
• RQ5 境界を持つ2-バンドル $Q$ の $\widehat{B}_Q(A)$ の構成は、閉じた場合の $\mathbb{T}$-torsor $T_Q(A)$ とどのように関係するか？

主な発見

• $\mathbb{T}$-gerbe $\mathcal{B}_R(a)$ が、閉じた1次元多様体 $R$ 上のSU(2)-バンドルの接続空間 $\mathcal{A}_R$ 上に幾何的に構成された。
• $\mathcal{G}_S$-torsor $B_R(a)$ の $\widehat{\mathcal{G}}_S$-torsor へのリフトの圏 $\mathcal{B}_R(a)$ は、$\mathbb{T}$-gerbe であり、古典的 TQFT の公理を満たす。
• 境界を持つ2次元多様体 $\Sigma$ 上の接続 $A$ に対して、$\mathcal{B}_{\partial Q}(\partial A)$ 値の標準的リフト $\widehat{B}_Q(A)$ が構成された。
• グリューニング法が確立された：三重のリフトのトレースは $\mathbb{T}$-torsor を与え、構成は自明化の選択に依存しない（一意同型の意味で）。
• 閉じた場合（$\partial\Sigma = \emptyset$）には、トレース写像 $\mathrm{Tr}_a$ が $\mathbb{T}$-gerbe と標準的 $\mathbb{T}$-torsor $T_Q(A)$ 間の自然な同型を誘導し、Chern-Simons 線束が回復される。
• 本構成は、$\mathcal{A}_R$ 上にグローバルな Dixmier-Douady シェーブの群値対象（DD gerbe）の存在を示唆しており、今後の研究の対象となる。