[論文レビュー] Gerbes on orbifolds and exotic smooth R^4

Torsten Aßelmeyer-Maluga, Jerzy Król|ArXiv.org|Nov 2, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$S^3$ 上のバンドルゲーブルの安定同型類と、$S^3$ のLeray軌道的空間の$K$-理論の変形を介して、$\r^4$ 上の見かけの滑らかさ構造の1対1対応を確立する。群oidsに基づくねじれ$K$-理論と$H^3(S^3, \bbZ)$類を用いて、$SU(2)$-ゲーブルを介した$K$-理論の変形が、小規模な見かけの滑らかさ構造を正確に分類することを示し、非標準的な滑らかさが一般化されたコホモロジーおよび量子重力構造と結びつくことを示している。

ABSTRACT

By using the relation between foliations and exotic R^4, orbifold $K$-theory deformed by a gerbe can be interpreted as coming from the change in the smoothness of R^4. We give various interpretations of integral 3-rd cohomology classes on S^3 and discuss the difference between large and small exotic R^4. Then we show that $K$-theories deformed by gerbes of the Leray orbifold of S^3 are in one-to-one correspondence with some exotic smooth R^4's. The equivalence can be understood in the sense that stable isomorphisms classes of bundle gerbes on S^{3} whose codimension-1 foliations generates the foliations of the boundary of the Akbulut cork, correspond uniquely to these exotic R^{4}'s. Given the orbifold $SU(2) imes SU(2) ightrightarrows SU(2)$ where SU(2) acts on itself by conjugation, the deformations of the equivariant $K$-theory on this orbifold by the elements of $H_{SU(2)}^{3}(SU(2),\mathbb{Z})$, correspond to the changes of suitable exotic smooth structures on R^4.

研究の動機と目的

• 見かけの滑らかさ$\r^4$の構造と、軌道的空間上のゲーブルによる$K$-理論の変形との間の1対1対応を確立すること。
• 整数係数の$S^3$ 上の3次コホモロジー類が、特に小規模と大規模のタイプを区別する見かけの$\r^4$の分類不変量として解釈されること。
• 群oids $SU(2) \times SU(2) \rightrightarrows SU(2)$ 上のねじれ$K$-理論が、$H^3_{SU(2)}(S^3, \bbZ)$ を介して、$\r^4$ の見かけの滑らかさの修正を分類することを示すこと。
• 群oidsとゲーブルを用いた滑らか多様体論の一般化により、見かけの$\r^4$のグローバルかつ非局所的性質を捉えること。
• 量子重力および超弦理論における見かけの滑らかさの理解のための幾何的かつコホモロジー的枠組みを提供すること。

提案手法

• 見かけの滑らかさ構造の検出のための幾何的代理として、$S^3$ 上のcodimension-1フォロリエーションの使用。
• $H^3(S^3, \bbZ)$類を、$S^3$ 上のバンドルゲーブルのDixmier-Douady類として実現し、$K$-理論のねじれクラスとして解釈すること。
• $S^3$ のLeray軌道的空間を、$SU(2)$ が共役作用を施す群oids $SU(2) \times SU(2) \rightrightarrows SU(2)$ として構成すること。
• $H^3_{SU(2)}(S^3, \bbZ) \to \bbZ$ に値をとるクラスを持つゲーブルによる、この群oids上の等変$K$-理論の変形。
• Fredholm作用素と関連するバンドル $Y(Fred)$ を介したねじれ$K$-理論の応用、ここで $Y$ はクラス $[H]$ を表す $PU(\rH)$-バンドルである。
• Morita同値と群oids準同型 $f: \tt G \to U_{\rK} \rtimes PU(\rH)$ を用いて、 torsion でないクラスのためのねじれ$K$-理論を定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数係数の$S^3$ 上の3次コホモロジー類は、どのように見かけの滑らかさ構造$\r^4$を分類するか？
• RQ2 $S^1$-ゲーブルとフォロリエーションは、小規模と大規模の見かけの$\r^4$を区別する上で果たす役割は何か？
• RQ3 群oids $SU(2) \times SU(2) \rightrightarrows SU(2)$ 上のねじれ$K$-理論は、$\r^4$ の見かけの滑らかさの修正とどのように関係するか？
• RQ4 小規模と大規模の見かけの$\r^4$の区別は、有理数係数と実数係数のコホモロジー類の観点から理解できるか？
• RQ5 軌道的空間上の等変$K$-理論のゲーブルによる変形は、$\r^4$ 上の滑らかさ構造の変化に対応する仕組みは何か？

主な発見

• codimension-1フォロリエーションがAkbulutのコルトの境界フォロリエーションを誘導する$S^3$ 上のバンドルゲーブルの安定同型類は、見かけの滑らかさ$\r^4$の構造と1対1対応する。
• 群oids $SU(2) \times SU(2) \rightrightarrows SU(2)$ を介して実現される$S^3$ のLeray軌道的空間のねじれ$K$-理論は、レベル$k$におけるVerlinde代数$V_k(SU(2))$と同型であり、ねじれクラスは$d(\rL) = (\text{dim}(SU(2)) + 2 + k)[\text{pt}] \to H^3(S^3, \bbZ)$ となる。
• $H^3_{SU(2)}(S^3, \bbZ) \to \bbZ$ に値をとるクラスを持つゲーブルによる、群oids $SU(2) \times SU(2) \rightrightarrows SU(2)$ 上の等変$K$-理論の変形は、$\r^4$ 上の見かけの滑らかさ構造の変化を分類する。
• torsion クラス $[H]$ の場合、ねじれ$K$-理論 $K(M, [H])$ はバンドルゲーブル$K$-理論 $K_{bg}(M, L)$ と一致し、$d(\rL) = [H]$ となる。
• 非torsionの場合には、$U_{\rK} \rtimes PU(\rH)$ への上昇を介した無限次元$K$-理論が必要であり、標準的な$K$-理論枠組みを一般化する。
• 群oidsとゲーブルを用いたこのアプローチにより、小規模な見かけの$\r^4$のグローバルかつ非局所的特徴が得られ、$H^3(S^3, \bbZ)$ クラスの性質によって、大規模なものと区別される。