[論文レビュー] GESPAR: Efficient Phase Retrieval of Sparse Signals

Yoav Shechtman, Amir Beck+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

GESPAR は、行列リフトを回避することで、フーリエ位相測定値からのスパース信号の位相再構成を効率的に行う、高速でグリーディな局所探索アルゴリズムである。反復的に信号のサポートと位相を最適化するために減衰付きガウス・ニュートン法を用い、Fienup型アルゴリズムやSDPベースの手法と比較して、特に大規模な1次元および2次元問題において、高い精度とスケーラビリティを達成する。

ABSTRACT

We consider the problem of phase retrieval, namely, recovery of a signal from the magnitude of its Fourier transform, or of any other linear transform. Due to the loss of the Fourier phase information, this problem is ill-posed. Therefore, prior information on the signal is needed in order to enable its recovery. In this work we consider the case in which the signal is known to be sparse, i.e., it consists of a small number of nonzero elements in an appropriate basis. We propose a fast local search method for recovering a sparse signal from measurements of its Fourier transform (or other linear transform) magnitude which we refer to as GESPAR: GrEedy Sparse PhAse Retrieval. Our algorithm does not require matrix lifting, unlike previous approaches, and therefore is potentially suitable for large scale problems such as images. Simulation results indicate that GESPAR is fast and more accurate than existing techniques in a variety of settings.

研究の動機と目的

• 信号のスパarsityを事前情報として活用することで、位相再構成問題の不適切な定式化を緩和する。
• Fienup型アルゴリズムの収束が遅いことや、SDPベースの手法の計算コストの高さといった既存手法の限界を克服する。
• 2次元画像再構成のような大規模問題に適したスケーラブルで効率的なアルゴリズムを開発する。
• ノイズや不完全な測定値に対しても頑健な再構成を実現しつつ、高い成功確率を維持する。
• 大規模問題では実行不可能な行列リフト技術の実用的代替手段を提供する。

提案手法

• スパース位相再構成をスパarsity制約を含む非凸・非線形最適化問題として定式化する。
• 反復的に信号のサポート集合を更新するグリーディな局所探索戦略を採用する。
• 固定されたサポート集合に対して、データ適合項を最小化するために減衰付きガウス・ニュートン（DGN）アルゴリズムを用いる。
• サポート選択とDGNの最適化を交互に繰り返し、局所的停留点に収束する。
• 行列リフトを回避し、信号ベクトルそのものに対して直接最適化することで、計算複雑度を低減する。
• 勾配およびヘッセ情報に基づいて、新しいサポートインデックスを選択するためのしきい値ルールを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fienup型やSDPベースでない高速なアルゴリズムが、1次元および2次元設定におけるスパース位相再構成で高い再構成精度を達成できるか？
• RQ2 GESPAR は Fienup型および SDP ベースの手法と比較して、性能とスケーラビリティにおいてどのように差をつけるか？
• RQ3 スパarsityの関数として、信頼性のある再構成に必要な測定数はどの程度か？
• RQ4 ノイズや正確でない事前知識に対して、GESPAR はどの程度頑健か？
• RQ5 行列リフトを用いずに、大規模な信号（例：2次元画像）を効果的に再構成できるか？

主な発見

• GESPAR は、スパarsityレベル $ s $ の信号を $ N = 2n $ 測定値から高い確率で再構成可能であり、必要な測定数は $ s^3 $ にほぼ比例する。
• $ n = 512, s = 35 $ の場合、GESPAR は $ ITER = 6400 $ で 33.5 秒で信号を再構成し、スケーラビリティにおいてSDPベースの手法を著しく上回る。
• 2次元位相再構成において、$ n = 6400 $ の場合、GESPAR は $ s = 57 $ まで信号を再構成可能であるのに対し、スパース-Fienup は同じ条件下で $ s = 42 $ までしか再構成できない。
• GESPAR の計算時間はサポートの入れ替え回数にほぼ線形に比例し、平均的な入れ替え回数は $ s $ および $ n $ に対して対数的に増加する。
• GESPAR はノイズに対して頑健であり、自己相関に基づくサポート情報が得られない状況でも良好に動作する。
• 1次元および2次元設定の両方において、さまざまな信号サイズとスパarsityレベルにおいて、スパース-Fienup よりも高い再構成確率を達成する。