[論文レビュー] Getting path integrals physically and technically right

Steven Kenneth Kauffmann|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、フェインマンのハミルトニアン位相空間経路積分を制約のない2階微分を用いて通常の関数積分に厳密に再定式化することにより、長年の量子力学的正準化の曖昧さを解消した。これにより、時間の1次に比例する精度で一意に評価可能となり、シュレーディンガー方程式が得られ、古典的ハミルトニアンの一意的かつ物理的に整合性のある正準化が実現された。この結果、長年の順序の曖昧さが解消され、強化された正準交換関係と整合性が確認された。

ABSTRACT

Feynman's Lagrangian path integral was an outgrowth of Dirac's vague surmise that Lagrangians have a role in quantum mechanics. Lagrangians implicitly incorporate Hamilton's first equation of motion, so their use contravenes the uncertainty principle, but they are relevant to semiclassical approximations and relatedly to the ubiquitous case that the Hamiltonian is quadratic in the canonical momenta, which accounts for the Lagrangian path integral's "success". Feynman also invented the Hamiltonian phase-space path integral, which is fully compatible with the uncertainty principle. We recast this as an ordinary functional integral by changing direct integration over subpaths constrained to all have the same two endpoints into an equivalent integration over those subpaths' unconstrained second derivatives. Function expansion with generalized Legendre polynomials of time then enables the functional integral to be unambiguously evaluated through first order in the elapsed time, yielding the Schroedinger equation with a unique quantization of the classical Hamiltonian. Widespread disbelief in that uniqueness stemmed from the mistaken notion that no subpath can have its two endpoints arbitrarily far separated when its nonzero elapsed time is made arbitrarily short. We also obtain the quantum amplitude for any specified configuration or momentum path, which turns out to be an ordinary functional integral over, respectively, all momentum or all configuration paths. The first of these results is directly compared with Feynman's mistaken Lagrangian-action hypothesis for such a configuration path amplitude, with special heed to the case that the Hamiltonian is quadratic in the canonical momenta.

研究の動機と目的

• 一般の古典的ハミルトニアンに対して演算子の順序付けに一意性がないという長年の経路積分正準化の曖昧さを解消すること。
• ラグランジュ経路積分とは異なり、ハミルトニアン位相空間経路積分が不確定性関係と完全に整合し、一意的な正準化をもたらすことを示すこと。
• ハミルトニアン位相空間経路積分から得られる一意的正準化が、ディラックの正準交換関係をわずかに強化したバージョンから得られるものと一致することを示すこと。
• 経路積分の物理的妥当性に関する広く一般的な誤解、特に任意に短い時間間隔の部分経路と固定端点に関する誤解を明確にし、是正すること。
• 指定された配置または運動量の経路に対する量子振幅を、通常の関数積分として形式的かつ明確に導出すること。

提案手法

• 固定端点を持つ部分経路への直接積分を、制約のない2階微分への積分に置き換えることにより、ハミルトニアン位相空間経路積分を再定式化する。
• 時間の一般化されたルジャンドル多項式への関数展開を用いて経路の変動をパrameter化し、関数積分の明示的評価を可能にする。
• 得られた関数積分を経過時間の1次に比例する精度で評価し、時間発展演算子およびシュレーディンガー方程式を導出する。
• 指定された配置経路または運動量経路に対する量子振幅を、すべてのsuch経路への関数積分として計算する。
• 導出された配置経路の振幅を、フェインマンの誤ったラグランジュ作用仮説と比較し、特に2次ハミルトニアンの場合に注目する。
• 古典的観測可能量のフーリエ展開と経路積分の結果を用いて、任意の関数 F(q,p) の配置表現における行列要素を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜラグランジュ経路積分は一意的な正準化を提供できないのか。これは不確定性原理とどのように関係するのか。
• RQ2 ハミルトニアン位相空間経路積分は、通常の関数積分に再定式化可能であり、一意的な評価が可能なのか。
• RQ3 経路積分正準化の一意性に関する広く一般的な疑念の物理的根拠は何か。そして、どのように解消できるか。
• RQ4 ハミルトニアン位相空間経路積分から得られる正準化は、ディラックの正準交換関係をわずかに強化したバージョンから得られるものとどのように比較できるか。
• RQ5 指定された配置または運動量の経路に対する正しい関数積分表現は何か。

主な発見

• 制約のない2階微分と一般化されたルジャンドル多項式展開を用いて再定式化されたハミルトニアン位相空間経路積分は、古典的ハミルトニアンの一意的正準化を伴い、シュレーディンガー方程式を導出する。
• 経路積分から得られる一意的正準化は、ディラックの正準交換関係をわずかに強化したバージョンから得られるものと完全に一致し、長年の順序の曖昧さが解消された。
• 指定された配置経路に対する量子振幅は、すべてのsuch経路への通常の関数積分として正しく与えられる。フェインマンの誤ったラグランジュ作用仮説とは対照的であり、2次ハミルトニアンですら失敗する。
• 指定された運動量経路に対する振幅も、すべての運動量経路への通常の関数積分として導出され、このアプローチの形式的整合性が確認された。
• 固定端点を持つ部分経路が任意に短い時間間隔で存在できないという誤解は解消された。時間の長さに関わらず、無限に多くのsuch部分経路が常に存在する。
• 結果として、ボルン＝ジョルダン正準化則がハミルトニアン位相空間経路積分から自然に導かれることが確認され、ケルナーとサットクリフの独立的な結果とも一致するが、学術的論争を避けるため発表を控えた。