[論文レビュー] GIT for polarized curves

Gilberto Bini, Fabio Felici+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 45被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{P}^{d-g}$ 内の次数 $d$ の genus $g$ 曲線をパラメトライズする Hilbert および Chow のスキームの幾何的不変理論（GIT）商を調査し、3つの臨界的次数閾値 $d = 4(2g-2)$、$d = \frac{7}{2}(2g-2)$、$d = 2(2g-2)$ を特定する。Hilbert および Chow の半安定集合が一致し、それぞれの次数範囲において擬安定曲線および弱擬安定曲線のモジュライスタックへと写像され、臨界値では異なるGIT商が得られる。これらの結果により、ユニバーサルジャンコビアンの新たなコンパクト化が得られる。

ABSTRACT

We investigate GIT quotients of polarized curves. More specifically, we study the GIT problem for the Hilbert and Chow schemes of curves of degree d and genus g in a projective space of dimension d-g, as the ratio v:=d/(2g-2) decreases. We prove that the first three values of v at which the GIT quotients change are given by v=4, 3.5, 2. We show that, for v>4, L. Caporaso's results hold true for both Hilbert and Chow semistability. If 3.5

研究の動機と目的

• 次数 $d$ が $g$ に対して減少するに従い、$\mathbb{P}^{d-g}$ 内の次数 $d$ の genus $g$ 曲線の Hilbert および Chow のスキームの GIT 商がどのように変化するかを特定すること。
• 半安定集合および GIT 商が構造的変化を示す $d$ の臨界値を同定すること。
• Hilbert および Chow の半安定集合が一致し、特定の次数範囲において擬安定曲線および弱擬安定曲線のモジュライスタックへと写像されることを確立すること。
• 弱擬安定曲線および擬安定曲線のモジュライ空間上でのユニバーサルジャンコビアンの新たなコンパクト化を構成すること。

提案手法

• ノードおよびカスプをもつ曲線の安定性条件に注目し、幾何的不変理論（GIT）を用いて Hilbert および Chow の半安定集合を分析する。
• 部分曲線の安定性を決定する基本不等式 $\deg_Z L \geq \frac{d}{2g-2}(2g_Z - 2 + k_Z) - \frac{k_Z}{2}$ を適用する。
• 双対グラフおよび部分曲線分解に関する組合せ的結果を用いて、安定、多安定、半安定な構成を分類する。
• 半安定集合の安定化部分群およびストラトスを分析することで、GIT 商の構造を解明する。
• バランスの取れた線分束および正性条件の理論を用いて、 canonical 線分束および関連する線分束の全正則性および非常に正則性を検証する。
• 文献 [CFHR99] および [BFS89] に提示された基準を適用し、次数の上限の下で線分束の $k$-非常に正則性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $d$ がどの値をとる際に、$\mathbb{P}^{d-g}$ 内の次数 $d$ の genus $g$ 曲線の Hilbert または Chow のスキームの GIT 商が構造的変化を示すか？
• RQ2 異なる次数範囲において Hilbert および Chow の半安定集合はどのように比較できるか。また、それらが一致するのはいつか？
• RQ3 次数範囲 $d > 4(2g-2)$、$\frac{7}{2}(2g-2) < d < 4(2g-2)$、$2(2g-2) < d < \frac{7}{2}(2g-2)$ において、Hilbert および Chow の半安定集合がどのモジュライスタックへと写像されるか？
• RQ4 臨界値 $d = 4(2g-2)$ および $d = \frac{7}{2}(2g-2)$ において、Hilbert 半安定集合が Chow 半安定集合よりも厳密に小さいことから、GIT 構造にどのような変化が生じるか？
• RQ5 これらの結果を用いて、擬安定曲線および弱擬安定曲線のモジュライ空間上でのユニバーサルジャンコビアンの新たなコンパクト化を構成できるか？

主な発見

• GIT 商が変化する最初の3つの臨界的 $d$ の値は、$d = 4(2g-2)$、$d = \frac{7}{2}(2g-2)$、$d = 2(2g-2)$ である。
• $d > 4(2g-2)$ の範囲では、Hilbert および Chow の半安定集合が一致し、安定曲線のモジュライ空間に同型であり、Caporaso の結果が回復される。
• $\frac{7}{2}(2g-2) < d < 4(2g-2)$ の範囲では、Hilbert および Chow の半安定集合が一致し、弱擬安定曲線のモジュライスタックへと写像される。
• $2(2g-2) < d < \frac{7}{2}(2g-2)$ の範囲では、Hilbert および Chow の半安定集合が一致し、擬安定曲線のモジュライスタックへと写像される。
• $d = 4(2g-2)$ および $d = \frac{7}{2}(2g-2)$ において、Hilbert 半安定集合は Chow 半安定集合よりも厳密に小さいため、GIT 構造に変化が生じる。
• これらの結果により、弱擬安定曲線のモジュライ空間上および擬安定曲線のモジュライ空間上でのユニバーサルジャンコビアンの2つの新たなコンパクト化が得られる。