[論文レビュー] Moduli of Singular Curves

Jack Hall|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、射影空間のヒルベルト函手を用いた明示的な滑らかな被覆を構成することで、任意の特異点、非還元構造、多様な成分を許容するすべての曲線をパラメトライズする代数的スタック $υ_S$ の存在を確立する。主な貢献は、このスタックが代数的であること、局所有限生成であること、準コンpakと分離された対角を持つこと、さらに固定された算術種数と成分数が有界な幾何的連結曲線に対して有界性を示したことである。

ABSTRACT

The purpose of this note is to prove that there is an algebraic stack U parameterizing all curves. The curves that appear in the algebraic stack U are allowed to be arbitrarily singular, non-reduced, disconnected, and reducible. We also prove the boundedness of the open substack of U parameterizing geometrically connected curves with fixed arithmetic genus g and $\leq$ e irreducible components. This is an updated and expanded version of [arXiv:0902.3690v2, Appendix B].

研究の動機と目的

• 基底スキーム $S$ 上のすべての曲線（任意の特異点、非還元構造、非連結または可約成分を含む）をパラメトライズする普遍モジュライスタック $υ_S$ を構成すること。
• アーティンの基準に依存しない論理的独立な証明を提供し、明示的なヒルベルト函手表現を用いて $υ_S$ の代数的性を示すこと。
• 固定された算術種数 $g$ と高々 $e$ 個の既約成分をもつ幾何的連結曲線の開部分スタックに対して有界性を確立すること。
• 射影曲線の普遍変形空間が $\mathbb{Z}$ 上に定義されることを示し、特異的でない整数性の問題を解消すること。
• 還元的、コhen＝マカウル、完全交差、整域などの多数の幾何的条件が、$υ_S$ の代数的部分スタックを定義することを示し、精密モジュライ構成を可能にする。

提案手法

• 1次元的幾何的ファイバーをもつ、固有、平坦、有限生成な準同型として $T$-曲線を定義し、各 $S$-スキーム $T$ に対して $T$-曲線の群ガロア圏を割り当てるエタールスタック $\mathcal{U}_S$ を構成する。
• コhomオロジーの消滅と射影公式を用いて、十分大きな $m$ に対して $H^1(C, \mathscr{L}^m(-2c)) = 0$ を示し、任意の $T$-曲線がエタール局所的に射影的であることを証明する。
• 種数 $g$、成分数 $e$、特異点不変量 $\delta_c$ を用いて、特異曲線の次数と埋め込み次元を評価し、次数と射影的埋め込み次元に対する境界 $D_{g,e}$ と $N_{g,e}$ を得る。
• 有界次数と種数をもつ $\mathbb{P}^{N_{g,e}}$ 内の曲線のヒルベルト函手 $W_{g,e}$ 上に普遍族を構成し、誘導される写像 $W_{g,e} \to \mathfrak{W}_{g,e,0}$ が全射であることを示す。
• ヒルベルト函手の有界性（固定されたヒルベルト多項式の成分の射影的性）を用いて、幾何的連結で還元的、種数 $g$、$\leq e$ 個の成分をもつ曲線の部分スタック $\mathfrak{W}_{g,e,0}$ が準コンパクトであることを証明する。
• 平坦ファミリーおよび層複体のコホモロジーの理論を用いて、$h^1(L_{X/T}) = 3$ や準有限自己同型群などの条件が、引き戻しを尊重する条件として代数的部分スタックを定義することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーティンの基準に依存せずに、特異的、非還元的、可約的、非連結的を含むすべての曲線をパラメトライズする普遍代数的スタックを構成できるか？
• RQ2 特異的でない、特徴零の代数的曲線の普遍変形空間は、定数項が超越的である可能性があるにもかかわらず、$\mathbb{Z}$ 上に定義されるか？
• RQ3 固定された算術種数 $g$ と成分数 $e$ が有界な幾何的連結曲線の部分スタックは有界的かつ準コンパクト的か？
• RQ4 還元的、コhen＝マカウル、整域などの曲線のファイバーに関する幾何的条件は、$\mathcal{U}_S$ 内で代数的部分スタックを定義するか？
• RQ5 固定された種数と成分数に対して、埋め込み次数と射影的次元の有界性を一様に制御できるか？

主な発見

• 基底 $S$ 上のすべての曲線をパラメトライズするスタック $\mathcal{U}_S$ は代数的スタックであり、局所有限生成で、準コンパクトかつ分離された対角を持つ。
• $\mathcal{U}_S$ は、射影空間のヒルベルト函手による明示的で滑らかな被覆をもつ。これにより、アーティン基準に依存しない代数的性の構成的証明が得られる。
• 任意の固定された三つ組 $(g, n, e)$ に対して、算術種数 $g$、$n$ 個のマークド点、$\leq e$ 個の既約成分をもつ幾何的連結で還元的曲線のスタック $\mathcal{W}_{S,g,n,e}$ は代数的であり、有限生成で、準コンパクトかつ分離された対角を持つ。
• このような曲線の次数は $D_{g,e} = 2(g+e-1)(g+e) + e$ で有界であり、射影的埋め込み次元は $N_{g,e} \leq (g+e)^2 + 1$ で有界である。
• 任意の特異点の埋め込み次元は $(g+e)^2$ で有界であり、このような曲線の接線・接線包の次元はそれぞれ最大で 3 および $(g+e)^2 + 1$ である。
• 系 1.2 により、任意の射影的曲線の普遍変形空間は、整数係数の多項式方程式によって定義されることが示され、元の埋め込みに超越的項が使われても成り立つ。