[論文レビュー] Global aspects of the reducibility of quasiperiodic cocycles in semisimple compact Lie groups

Nikolaos Karaliolios|May 18, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、全測度の周波数集合に対して、半単純コンパクトなリー群における滑らかな可約な準周期的コサイクルのグローバルな密度を確立する。エネルギーと次数の不変量を用いて、一般のコサイクルを単純なモデルの摂動に還元するリノーマル化アルゴリズムを構築し、K.A.M.-起源の手法により、ほとんどすべてのコサイクルがほぼトーラス可約であることを証明する。これは、それらがアーベル部分群に値をとるコサイクルに任意に近い形で共役可能であることを意味する。

ABSTRACT

In this mémoire we study quasiperiodic cocycles in semi-simple compact Lie groups. For the greatest part of our study, we will focus ourselves to one-frequency cocyles. We will prove that $C^{\infty}$ reducible cocycles are dense in the $C^{\infty}$ topology, for a full measure set of frequencies. Moreover, we will show that every cocycle (or an appropriate iterate of it, if homotopy appears as an obstruction) is almost torus-reducible (i.e. can be conjugated arbitrarily close to cocycles taking values in an abelian subgroup of G). In the course of the proof we will firstly define two invariants of the dynamics, which we will call energy and degree and which give a preliminary distinction between (almost-)reducible and non-reducible cocycles. We will then take up the proof of the density theorem. We will show that an algorithm of renormalization converges to perturbations of simple models, indexed by the degree. Finally, we will analyze these perturbations using methods inspired by K.A.M. theory.

研究の動機と目的

• 準周期的コサイクルのグローバル可約性特性を、一般的な周波数条件のもとで研究すること。
• 全測度の周波数集合に対して、$C^\infty$-可約コサイクルが$C^\infty$位相で稠密であることを確立すること。
• すべてのコサイクル（またはホモトピー障害を解消するための適切な反復）がほぼトーラス可約であること、すなわち、アーベル部分群に値をとるコサイクルに任意に近い形で共役可能であることの証明。
• 可約でないコサイクルと可約なコサイクルを区別するための動的不変量（エネルギーと次数）を定義し、それを用いること。
• 次数でインデックス付けられた正則または特異な測地線モデルの摂動に一般コサイクルを還元するリノーマル化スキームの構築。

提案手法

• 半単純コンパクトなリー群$G$に対して、$\mathbb{T} \times G$における準周期的コサイクルを分類するための2つの不変量（エネルギーと次数）を導入する。
• $\mathbb{R} \times G$上の$\mathbb{Z}^2$作用に作用するリノーマル化アルゴリズムを構築し、次数でパラメータ化された単純なモデルの摂動に収束させる。
• 正則測地線の摂動を解析するため、K.A.M.-起源の技術を適用し、エネルギーとフーリエ係数の事前推定を用いる。
• 局所的共役補題と反復スキームを用いて、共鳴モードを低減し、リノーマル化プロセスにおける非線形項を制御する。
• 線形項を含まないハウスドルフ＝キャンベルの公式の推定を用いて、K.A.M.反復における非線形誤差項を制御する。
• 周波数のリノーマル化における次数の可測不変性を証明し、連分数展開を用いて周波数依存性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全測度の周波数集合に対して、$C^\infty$-可約な準周期的コサイクルは$C^\infty$位相で稠密か？
• RQ2 すべての準周期的コサイクル（適切な反復を経て）は、$G$のアーベル部分群に値をとるコサイクルに任意に近い形で共役可能か？
• RQ3 この設定において、可約でないコサイクルと可約なコサイクルを区別する動的不変量は何か？
• RQ4 リノーマル化スキームは、次数不変量でインデックス付けられたモデルにどのように収束するか？
• RQ5 K.A.M.-型反復の収束を保証するための、エネルギーとフーリエ係数に対する事前推定は何か？

主な発見

• 全測度の周波数集合に対して、$C^\infty$-可約コサイクルは$C^\infty$コサイクル空間において$C^\infty$稠密である。
• すべてのコサイクル（またはホモトピー障害を解消するための反復）はほぼトーラス可約であり、これは、それらがアーベル部分群に値をとるコサイクルに任意に近い形で共役可能であることを意味する。
• エネルギーと次数は、適切に定義され、可測であり、リノーマル化スキームに対して不変である。これらはコサイクルの動的分類に寄与する。
• リノーマル化アルゴリズムは、次数でインデックス付けられた正則測地線の摂動に収束し、摂動の大きさに一様な制御が可能である。
• エネルギーとフーリエ係数に対する事前推定が、K.A.M.-起源の反復の収束を保証する。その境界は次数と周波数のディオファントス性質に依存する。
• K.A.M.段階における線形化方程式の解は、$\|T_N f\|_s \leq C_s (N^{(u)})^{s+3} \|g\|_{s+3}$を満たし、$N^{(u)} = N + N'$である。これにより、ソボレフノルムにおける制御が保証される。