[論文レビュー] Global attractors for multivalued semiflows with weak continuity properties

Piotr Kalita, Grzegorz Łukaszewicz|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、弱い連続性を持つ多価半フローに対して、標準的な上半連続性要件を緩和する新しい条件（NW）を導入し、グローバルアトラクターの存在を確立する。弱いコンパクト性と強い-弱い上半連続性を示すことにより、反応拡散問題における非単調な多価境界項および源項を含む場合について、ヒルバート空間およびレベーグ空間の両方でアトラクターの存在を示している。

ABSTRACT

A method is proposed to deal with some multivalued semiflows with weak continuity properties. An application to the reaction-diffusion problems with nonmonotone multivalued semilinear boundary condition and nonmonotone multivalued semilinear source term is presented.

研究の動機と目的

• 強い上半連続性を満たさない多価半フローのグローバルアトラクター理論を拡張するために、より弱い連続性条件を導入すること。
• 特にClarkeの部分微分から生じる多価項を含む場合のPDEおよび包含の解の一意性の欠如という課題に対処すること。
• 緩和された連続性およびコンパクト性の仮定の下で、$ H $ および $ L^p(\Omega) $ 空間におけるアトラクターの存在を確立すること。
• 従来の強-弱連続性および $ \omega $-極限コンパクト性に関する結果を、多価的かつ非厳密な半フロー設定に一般化すること。
• ヘミバリアショナル不等式および非単調的・多価的非線形性を有する反応拡散問題に適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• （NW）条件の導入：多価半フロー $ G(t,x) $ が弱コンパクトな値をもち、強い-弱い上半連続性を満たすこと。
• エネルギー推定および事前評価を用いて、$ H $ および $ L^p(\Omega) $ における有界な吸引集合の存在を証明すること。
• 高周波成分の指数的減衰に基づくフラットネーリング条件を用いて、$ H $ における $ \omega $-極限コンパクト性を確立すること。
• Lemma 3.15 を適用して、$ H $ における $ \omega $-極限コンパクト性を $ L^p(\Omega) $ に転送し、$ |v| \geq M $ における一様テイル推定を用いること。
• Corollary 2.2 および Theorem 2.4 を用いて、（NW）、有界な吸引集合、および $ \omega $-極限コンパクト性からグローバルアトラクターの存在を導出すること。
• 部分積分およびGronwall型推定を用いて、$ (|v| - M)_+ $ の $ L^p $-ノルムを制御し、一様テイル制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い上半連続性を満たさないが、より弱い（NW）条件を満たす多価半フローに対して、グローバルアトラクターの存在を証明できるか？
• RQ2 非単調な多価境界項および源項を有する反応拡散問題に対して、アトラクターの存在をどのように確立できるか？
• RQ3 強い-弱い連続性が成り立つ場合に、$ L^p(\Omega) $ における $ \omega $-極限コンパクト性を保証する条件は何か？
• RQ4 $ G(t+s,x) \subset G(t,G(s,x)) $（等号ではない）という非厳密な多価半フローに、アトラクター理論を拡張できるか？
• RQ5 微分包含におけるClarkeの部分微分構造を、（NW）条件の検証にどの程度活用できるか？

主な発見

• 多価半フロー $ G: \mathbb{R}^+ \times H \to P(H) $ は、（NW）条件および $ \omega $-極限コンパクト性を用いて、$ H $ にグローバルアトラクターを持つ。
• 半フロー $ G: \mathbb{R}^+ \times L^p(\Omega) \to P(L^p(\Omega)) $ は、Lemma 3.15 を用いて $ H $ からのコンパクト性を転送することにより、$ L^p(\Omega) $ にグローバルアトラクターを持つことが証明された。
• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ M = M(\varepsilon, R) $ が存在し、すべての $ t \geq t_0 $ に対して $ \|(|v(t)| - M)_+\|_{L^p(\Omega)} \leq \varepsilon $ が成り立つ。これにより一様テイル制御が保証される。
• 高周波成分 $ v_2 $ の $ L^p $-ノルムは、指数的減衰およびエネルギー推定を用いて制御されている。
• 項 $ \|(|v| - M)_+\|_{L^{2p-2}(\Omega)}^{2p-2} $ は、$ \frac{p}{d}\|F\|_H^2 \frac{e^{\lambda_{n+1}(t+2)}}{\lambda_{n+1}} + 2e^{\lambda_{n+1}(t+2)}\delta $ で有界であり、これにより一様な小ささが得られる。
• $ H $ におけるアトラクターはコンパクトであり、すべての有界集合を吸引する。この証明は $ \omega $-極限コンパクト性および（NW）条件に依存している。