[論文レビュー] Global classical solution to the Cauchy problem of 2D baratropic compressible Navier-Stokes system with large initial data

Jingchi Huang, Chao Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、体積粘性係数が $\lambda = \rho^\beta$ で $\beta > 1$ を満たす場合に、大規模な初期データをもつ2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、古典的解のグローバル存在および一意性を確立する。密度および速度勾配の事前評価をエネルギー推定と対数的ソボレフ不等式を用いて導出し、$L^\infty$ や $L^2$ ノルムにおける初期データの小ささを仮定しないで、局所解を時間的にグローバルに拡張する。

ABSTRACT

For periodic initial data with initial density, we establish the global existence and uniqueness of strong and classical solutions for the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations with no restrictions on the size of initial data provided the shear viscosity is a positive constant and the bulk one is $\lam=ρ^{\b}$ with $\b>1.$

研究の動機と目的

• 大規模な初期データをもつ2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、古典的解のグローバル存在および一意性を確立すること。
• 従来の文献でグローバル適切性に要請されていた $\beta > 3$ または $\beta > 4/3$ の制限を除去すること。
• 密度の上界を一様に保証することで、大規模な初期密度の振動を許容すること。
• 事前評価に基づく背理法を用いて、局所強解をグローバル解に拡張すること。
• 最小限の仮定の下で結果を証明すること：$\beta > 1$, $\gamma > 1$, 初期密度は $W^{1,q}$ に属し、速度は $H^2$ に属する。

提案手法

• 密度の事前評価を、$\Phi = (2\mu + \lambda(\rho))\nabla\rho$ の輸送方程式を導出し、$|\Phi|^{q-2}\Phi$ で積分することによって得る。
• 対数的ソボレフ不等式を用いて、$\|\nabla u\|_{L^\infty}$ を $\|\nabla^2 u\|_{L^q}$ および $\|\nabla u\|_{L^2}$ の項で制御する。
• 材料微分 $\dot{u} = u_t + u \cdot \nabla u$ を用いて、$\|\rho^{1/2} \dot{u}\|_{L^2}$ および $\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}$ のエネルギー推定を導出する。
• Gronwallの不等式を密度勾配推定 $\|\nabla \rho\|_{L^q}$ に適用する。この際、$L^2(0,T;L^q)$ の制御により $\|\rho \dot{u}\|_{L^q}$ を評価する。
• 関係式 $\|\nabla^2 u\|_{L^q} \lesssim \|\nabla \text{div} u\|_{L^q} + \|\nabla \omega\|_{L^q}$ を用いて、$\|\nabla^2 u\|_{L^q}$ の高階推定を確立する。$\|\nabla \rho\|_{L^q}$ の有界性を用いる。
• 背理法を用いる：有限寿命 $T^*$ を仮定し、$\|\rho\|_{L^\infty}$ および $\|\nabla \rho\|_{L^q}$ の一様有界性が $T^*$ を超えて解を拡張可能であることを示し、最大性に矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積粘性係数が $\lambda = \rho^\beta$ の2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、初期データが大きい場合にグローバル古典的解が存在しうるか？
• RQ2 初期データに小さな仮定を課さない場合に、グローバル適切性のための $\beta$ の最小要件は何か？
• RQ3 条件 $\beta > 1$ の下で、大規模な初期データに対して密度の上界を一様に保証できるか？
• RQ4 爆発基準をどのように制御することで、局所解をグローバルに拡張できるか？
• RQ5 $L^q$-ノルムでの $\nabla \rho$ および $L^2(0,T;L^q)$-ノルムでの $\rho \dot{u}$ の有界性のみを用いて、密度の $L^\infty$-ノルムを制御できるか？

主な発見

• 本稿では、大規模な初期データをもつ2次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、強解および古典的解のグローバル存在と一意性を証明する。
• 体積粘性係数 $\lambda = \rho^\beta$ の下で、$\beta > 1$ の条件下で成立し、従来の結果で要請されていた $\beta > 3$ または $\beta > 4/3$ よりも緩い条件である。
• 密度の上界の一様性は、$\Phi = (2\mu + \lambda(\rho))\nabla\rho$ の輸送方程式を用いて確立され、解のグローバル拡張に不可欠である。
• $\|\rho \dot{u}\|_{L^q}$ および $\|\nabla u\|_{L^\infty}$ の推定を対数的ソボレフ埋め込みを用いて行い、Gronwallの不等式を適用することで、$\|\nabla \rho\|_{L^q}$ の時間に依存しない有界性を確立する。
• $\|\nabla \text{div} u\|_{L^q}$ および $\|\nabla \omega\|_{L^q}$ の有界性を $\|\nabla \rho\|_{L^q}$ および $\|\rho \dot{u}\|_{L^q}$ を用いて制御し、それらから $\|\nabla^2 u\|_{L^q}$ の高階推定を導出する。
• 背理法により、解が任意の有限時刻 $T^*$ を超えて拡張可能であることが確認され、提示された条件下でグローバル存在が証明される。