[論文レビュー] Global existence and optimal decay estimates of strong solutions to the compressible viscoelastic flows

Xinghong Pan, Jiang Xu|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、臨界 $L^p$ ベソフ空間における新しい二効果速度アプローチを用いて、$\mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$) における圧縮性粘弾性流れ系の強解の全域的存在および最適減衰推定を確立する。これは、従来の $L^2$-ベースの枠組みを拡張し、大きくて高周波の初期データを許容するものである。

ABSTRACT

This paper is dedicated to the global existence and optimal decay estimates of strong solutions to the compressible viscoelastic flows in the whole space $\mathbb{R}^n$ with any $n\geq2$. We aim at extending those works by Qian \& Zhang and Hu \& Wang to the critical $L^p$ Besov space, which is not related to the usual energy space. With aid of intrinsic properties of viscoelastic fluids as in \cite{QZ1}, we consider a more complicated hyperbolic-parabolic system than usual Navier-Stokes equations. We define "\emph{two effective velocities}", which allows us to cancel out the coupling among the density, the velocity and the deformation tensor. Consequently, the global existence of strong solutions is constructed by using elementary energy approaches only. Besides, the optimal time-decay estimates of strong solutions will be shown in the general $L^p$ critical framework, which improves those decay results due to Hu \& Wu such that initial velocity could be extit{large highly oscillating}.

研究の動機と目的

• 全空間 $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$) における圧縮性粘弾性流れの強解の全域的存在を確立すること。
• 従来の $L^2$-ベースのベソフ空間における結果を、$p \in [2,4]$ のより一般的な臨界 $L^p$ ベソフ枠組みへ拡張すること。
• 最小限の正則性仮定の下で強解の最適時間減衰推定を導出すること。
• 過去の研究で制限を受けていた、大きな高周波初期速度データを扱えるようにすること。
• 双曲型・放物型系における密度、速度、歪みテンソルの間の結合を解消するための新しい二効果速度形式を構築すること。

提案手法

• 粘弾性系における密度・速度・歪みテンソルの間の結合を相殺するための、画期的な二効果速度形式を導入すること。
• 粘弾性流体の構造的性質に基づく応力テンソルの内在的分解を適用して、系を単純化すること。
• 最小限の正則性で解析可能な、$L^p$-ベースの臨界ベソフ空間枠組み $\dot{\mathcal{B}}^{s,\sigma}_{2,p}$ および $\dot{B}^{s}_{p,1}$ を用いること。
• 基本的なエネルギー推定と時間重み付きエネルギー法を組み合わせて、全域的存在を証明すること。
• ハイブリッド・ベソフ空間におけるパラプロダクトおよび積の推定を用いて非線形項を制御すること。
• 臨界枠組みにおける熱方程式および輸送方程式の最適正則性推定を応用して、減衰率を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界 $L^p$ ベソフ空間 ($p \in [2,4]$) における初期データを伴う $\mathbb{R}^n$ における圧縮性粘弾性流れの全域的強解が存在可能か？
• RQ2 密度・速度・歪みテンソルの結合を効果的に相殺するには、どのような手法が必要か？
• RQ3 一般 $L^p$ 臨界枠組みにおける強解の最適時間減衰率は何か、特に大きな高周波初期速度の下でどうなるか？
• RQ4 $L^2$-ベースの枠組みを超えて、$p \neq 2$ の $L^p$-ベースの臨界空間へ拡張可能か？
• RQ5 二効果速度形式は、臨界 $L^p$ 設定における基本的エネルギー法の適用を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 初期データが臨界 $L^p$ ベソフ空間 $\dot{\mathcal{B}}^{n/2-1,n/2}_{2,p} \times \dot{B}^{n/2-1}_{p,1}$ に属する場合、$\mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$) における圧縮性粘弾性系の全域的強解が存在する。
• 二効果速度形式により、系がうまく分離され、エネルギー空間における小さな仮定を必要としない基本的エネルギー法によって全域的存在が証明可能となった。
• 一般 $L^p$ 臨界枠組みにおいて最適時間減衰推定が確立され、系の期待される物理的スケーリングと一致する。
• Hu と Wu の先行研究を改善し、初期速度が大きくかつ高周波である場合を含められるようになった。これは、従来の $L^2$-ベースの枠組みでは許容されていなかった。
• 本フレームワークは頑健であり、ヘッケの線形モデルを超えるより一般的な弾性エネルギー形態へも拡張可能である。
• 減衰推定は鋭く、系のスケーリング不変性と整合しており、導出された減衰率の最適性が裏付けられた。