[論文レビュー] Global weak solutions to 3D compressible Primitive equations with density-dependent viscosity

Fengchao Wang, Changsheng Dou+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、周期的領域における密度に依存する粘性を有する3次元圧縮性原始方程式に対して、有限エネルギー弱解の大域的存在を確立する。著者らは、垂直速度を密度と水平速度の関数として表現する独創的な近似法を導入し、Bresch-Devriendtのエントロピー推定とコンパクト性の議論を活用することで、真空中における粘性の退化を克服し、大規模な初期データに対しても存在を証明する。

ABSTRACT

This paper is devoted to investigating the global existence of weak solutions for the compressible primitive equations (CPE) with damping term in a three-dimensional torus for large initial data. The system takes into account density-dependent viscosity. In our proof, we represent the vertical velocity as a function of the density and the horizontal velocity which will play a role to use the Faedo-Galerkin method to obtain the global existence of the approximate solutions. Motivated by Vasseur and Yu [yucheng2016], we obtain the key estimates of lower bound of the density, the Bresch-Desjardin entropy on the approximate solutions. Based on these estimates, using compactness arguments, we prove the global existence of weak solutions of CPE by vanishing the parameters in our approximate system step by step.

研究の動機と目的

• 密度に依存する粘性を有する3次元圧縮性原始方程式に対する弱解の大域的存在を確立すること。
• 速度の標準的 $ L^2 $ 評価が不可能な真空中における粘性の退化という課題に対処すること。
• 密度に依存する粘性および静水圧平衡を有する系に対して、Faedo-Galerkin近似の枠組みを拡張すること。
• 初期データが大きいかぎり、正則性やコンパクト性の欠如が生じる退化系に対しても解の存在を証明すること。
• 非圧縮性または定数粘性の原始方程式に関する先行結果を、圧縮性で密度に依存する状況に一般化すること。

提案手法

• 粘性の退化に対処するため、人工的粘性、減衰項、密度の切り捨てを含む正則化近似系を導入する。
• 垂直速度 $ v $ を密度 $ ho $ と水平速度 $ u $ の関数として表現することで、近似系の閉じるための条件を満たす。
• Faedo-Galerkin法を適用し、運動量方程式および連続の式を満たす近似解を構成する。
• 真空中の取り扱いに不可欠な密度の下界を、修正されたBresch-Devriendtのエントロピー推定により確立する。
• 近似パrameter $ ho \to 0 $, $ \nu \to 0 $, $ r \to 0 $ における極限に移行するため、弱収束および強収束を用いたコンパクト性の議論を用いる。
• 物理的領域の変換として $ z = 1 - e^{-y} $ を用い、極限における可積分性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度に依存する粘性を有する3次元圧縮性原始方程式に対して、任意の大規模初期データに対し大域的弱解が存在しうるか？
• RQ2 真空中で粘性が退化する場合、速度に対する標準的 $ L^2 $ 評価が不可能である中で、近似解をどのように構成できるか？
• RQ3 Bresch-Devriendtのエントロピー推定は、圧縮性で密度に依存する場合に適応可能であり、密度の下界を制御できるか？
• RQ4 初期データが小さくないか、粘性が定数でない場合でも、近似系から極限に移行することが可能か？
• RQ5 極限で元の系を回復するために必要な変換およびコンパクト性の道具は何か？

主な発見

• 任意の大規模初期データに対し、密度に依存する粘性を有する3次元圧縮性原始方程式に対して大域的弱解が存在する。
• 著者らは、修正されたBresch-Devriendtのエントロピー推定により、密度に一様な下界を確立し、真空中の取り扱いに不可欠な条件を満たす。
• 垂直速度は密度と水平速度から再構成され、これによりFaedo-Galerkin近似が系を閉じることが可能になる。
• エネルギーおよびエントロピーの不等式が極限でも保存され、弱解が物理的エネルギー収支およびB-Dエントロピー構造を満たすことが保証される。
• 解の正則性は $ \rho^{1/2}u \to L^\frown(0,T;L^2) $, $ \rho^{1/3}u \to L^3(0,T;L^3) $, および $ \rho^{1/2}\nabla_x \rho^{1/2} \to L^\frown(0,T;L^2) $ を満たす。
• 本結果は、圧縮性で密度に依存する状況への先行の存在結果を拡張し、3次元における未解決問題を解決する。