[論文レビュー] Global Existence of Entropy-Weak Solutions to the Compressible Navier-Stokes Equations with Non-Linear Density Dependent Viscosities

Didier Bresch, Alexis Vasseur+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 33被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、非線形で密度に依存する粘性係数と一般の圧力則 $ P( ho) = a ho^ u $（$ \gamma > 1 $）を有する圧縮性ストークス方程式に対して、エントロピー弱解の大域的存在を確立する。Bresch-Desjardinsのエントロピー構造を拡張し、精緻なコンパクト性の議論を用いることで、剪切粘性係数 $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $（$ 2/3 < \alpha < 4 $）の下で存在を証明し、数学的流体力学における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper, we extend considerably the global existence results of entropy-weak solutions related to compressible Navier-Stokes system with density dependent viscosities obtained, independently (using different strategies), by Vasseur-Yu [Inventiones mathematicae (2016) and arXiv:1501.06803 (2015)] and by Li-Xin [arXiv:1504.06826 (2015)].More precisely we are able to consider a physical symmetric viscous stress tensor $σ=2μ(ρ)\,{\mathbb{D}}(u)+\bigl(λ(ρ){ m div}u -P(ρ)\bigr)\, { m Id}$ where ${\mathbb D}(u) = [ abla u + abla^T u]/2$ with a shear and bulk viscosities (respectively $μ(ρ)$ and $λ(ρ)$) satisfying the BD relation $λ(ρ)=2(μ'(ρ)ρ- μ(ρ))$ and a pressure law $P(ρ)=aρ^γ$ (with $a&gt;0$ a given constant) for any adiabatic constant $γ&gt;1$. The nonlinear shear viscosity $μ(ρ)$ satisfies some lower and upper bounds for low and high densities (our mathematical result includes the case $μ(ρ)= μρ^α$ with $2/3 &lt; α&lt; 4$ and $μ&gt;0$ constant). This provides an answer to a longstanding mathematical question on compressible Navier-Stokes equations with density dependent viscosities as mentioned for instance by F. Rousset in the Bourbaki 69ème année, 2016--2017, no 1135.

研究の動機と目的

• 圧縮性ストークス方程式に対して、非線形で密度に依存する粘性係数を有する弱解の大域的存在という、長年の未解決問題を解消すること。
• 定数粘性係数の場合に限らない、一般の圧力則 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $（$ \gamma > 1 $）を含むエントロピー弱解フレームワークを拡張すること。
• 剪切粘性係数 $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $（$ 2/3 < \alpha < 4 $）に対して、BD関係を満たす条件下で存在を確立すること。
• 従来の類似結果で必要とされた、駆動項や真空中での特異圧力則といった制限的な仮定を排除すること。

提案手法

• 密度関数の勾配に対する事前推定を導くために、Bresch-Desjardins（BD）エントロピー構造を用い、速度場におけるコンパクト性を確立する。
• 密度と速度の非線形結合を扱うために、変更を加えた形の正規化された連続の式を適用する。
• 粘性正則化を用い、$ \mu_n $ が正である近似解の列 $ (\rho_n, u_n) $ を導入した後、$ \varepsilon_1 \to 0 $ の極限処理を実行する。
• 運動量方程式における恒等写像の近似として、滑らかで compact な台を持つ関数列 $ \varphi_n $ を用い、弱形式における極限への移行を可能にする。
• 補間コンパクト性法と、$ \rho $ および $ \rho u $ における $ L^p $ 空間における一様有界性に依拠し、エントロピー構造を活用して弱収束を制御する。
• Lebesgueの収束定理とコンパクト性の議論を用い、運動量方程式および連続の式における極限への移行を実施し、弱解の回復を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮性ストークス方程式に対して、非線形で密度に依存する粘性係数と一般の圧力則 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $（$ \gamma > 1 $）を有する場合に、大域的エントロピー弱解を構成することは可能か？
• RQ2 粘性係数 $ \mu(\rho) $ が非線形で $ \mu'(\rho) > 0 $ の場合に、Bresch-Desjardinsのエントロピー構造がコンパクト性の確立に有効に機能するか？
• RQ3 このような系の存在理論において、人工的駆動項や真空中での特異圧力則の必要性を排除することは可能か？
• RQ4 BD関係を満たす条件下で、$ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $ に対して大域的エントロピー弱解が存在するような指数 $ \alpha $ の範囲は何か？
• RQ5 追加の正則性仮定なしに、正規化された解が弱形式のストークス方程式を満たすことは示せるか？

主な発見

• 本稿は、BD関係を満たす密度に依存する粘性係数と一般の圧力則 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $（任意の $ \gamma > 1 $）を有する圧縮性ストークス方程式に対して、エントロピー弱解の大域的存在を証明する。
• 結果は、剪切粘性係数 $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $（$ 2/3 < \alpha < 4 $）に対しても成立し、従来の $ \mu(\rho) = \rho $ または定数粘性係数に限られた結果を拡張する。
• 密度 $ \rho_n $ に対して $ C^0(0,T;L^p(\Omega)) $ における一様有界性、および運動量 $ \rho_n u_n $ に対して $ L^\infty(0,T;L^{\frac{p+1}{2p}}(\Omega)) $ における一様有界性を確立し、密度および運動量の強収束を保証する。
• 近似解の極限は、連続の式および運動量方程式の弱形式を満たし、弱解の存在を確認する。
• $ \varphi_n $-近似プロセスを用いて構成された正規化解は、定義1.2における意味での弱解を満たすことが示され、弱解の回復が確認される。
• 本証明により、人工的駆動項や真空中での特異圧力則の必要性が排除され、より物理的に整合性のある存在枠組みが提供される。