[論文レビュー] Global ill-posedness for a dense set of initial data to the Isentropic system of gas dynamics

Robin Ming Chen, Alexis Vasseur+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、エネルギー空間の稠密な部分集合に属する任意の初期データに対して、$ n=2 $ および $ n=3 $ の次元における等エントロピーEuler系のグローバル非適切性を確立する。$ 1 < \gamma \leq 1 + \frac{2}{n} $ のとき、無限個のグローバル適切弱解が存在することが示される。この結果は、Székelyhidi–Wiedemannの非圧縮性非一意性枠組みを、滑らかで正のReynolds応力を取り扱える一般化された凸統合手続きを用いて圧縮性流れへと拡張したものである。

ABSTRACT

In dimension $n=2$ and $3$, we show that for any initial datum belonging to a dense subset of the energy space, there exist infinitely many global-in-time admissible weak solutions to the isentropic Euler system whenever $1

研究の動機と目的

• 等エントロピーEuler系の次元2および3における無限個のグローバル適切弱解の存在を確立すること。
• $ 1 < \gamma \leq 1 + \frac{2}{n} $ の制約下で、非圧縮性から圧縮性流れへの凸統合枠組みの拡張すること。
• $ \gamma \leq 1 + \frac{2}{n} $ のとき、非一意解を生成する初期データの集合がエネルギー空間 $ L^\gamma \times L^{2\gamma/(\gamma+1)} $ で稠密であることを示すこと。
• 圧縮性領域における滑らかで正のReynolds応力を扱える一般化された凸統合スキームの構築すること。

提案手法

• 凸統合の鍵となるステップを一般化し、圧縮性Euler系における滑らかで正のReynolds応力の取り扱いを可能にする。
• 特異な圧縮性Navier–Stokes系の弱粘性極限の正則化により、エネルギーに適合する部分解を構築する。
• 任意の与えられたエネルギー空間のデータに限りなく近い初期データを生成するために、洗練されたモロウフィケーション過程を適用する。
• 弱解の適切性基準として、エネルギー不等式の積分形を用いる。
• 2段階の凸統合プロセスを採用：まず $[0,T]$ 上でReynolds応力がゼロの部分解を生成し、次にそれを滑らかにすることで初期データが制御可能な新しい部分解を得る。
• 定理5.1を適用し、洗練された部分解を凸統合して、エネルギーが減少する無限個のグローバル弱解を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮性等エントロピーEuler系の次元2および3において、グローバル弱解の非一意性を確立できるか？
• RQ2 非圧縮性流れに用いられた凸統合法は、同じ $ \gamma $ 範囲で圧縮性の場合に拡張可能か？
• RQ3 エネルギー空間において、複数のグローバル解を生成する初期データの集合は、$ \gamma \leq 1 + \frac{2}{n} $ のとき稠密か？
• RQ4 滑らかで正のReynolds応力は圧縮性設定で凸統合可能か？ これにより無限個の解の構成が可能か？
• RQ5 エネルギー不等式は、圧縮性領域における適切性と非一意性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• エネルギー空間の稠密な部分集合に属する任意の初期データに対して、$ 1 < \gamma \leq 1 + \frac{2}{n} $ のとき、等エントロピーEuler系に対して無限個のグローバル適切弱解が存在する。
• この結果は $ n=2 $ および $ n=3 $ の両方で成り立ち、浅水域（$ \gamma=2 $）や単原子気体（$ \gamma=5/3 $）といった物理的に重要なケースを含む。
• 初期データは、任意の与えられた $ (\varrho^0, U^0) $ に対して、$ L^\gamma \times L^2 $-型位相で限りなく近づけることができる。
• 解のエネルギーは時間とともに非増加であり、初期エネルギー以上に上界をもつ。これはエネルギー不等式の積分形を満たす。
• 同一の初期データから無限個の解を生成するという点で、弱解クラスにおける強い非一意性を示している。
• 主な技術的進展は、圧縮性領域における滑らかで正のReynolds応力の凸統合を可能にするように凸統合を一般化したことであり、多数の部分解の構築を可能にしている。