[論文レビュー] Global Lipschitz stability for inverse problems for radiative transport equations

Manabu Machida, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、速度領域の分割に適した区分線形重み関数を用いた新しいCarleman推定量を構築することで、放射輸送方程式における逆問題に対して、全域リプシッツ安定性を確立した。従来の研究で求められていた速度方向に関する制限的仮定を排除し、初期データおよび源要因の厳密な正値性のみを要件とすることで、解の延長や速度錐制約なしに安定性を達成した。

ABSTRACT

We consider inverse problems of determining coefficients or time independent factors of source terms in radiative transport equations by means of Carleman estimate. We establish global Lipschitz stability results with an additional condition which requires some strict positivity for initial value or given factor of source, but we need not any extra conditions on domains of velocities, which is the main achievement of this article compared with the existing work by Machida and Yamamoto ({\it Inverse Problems} {\bf 30} 035010, 2014). The proof relies on a Carleman estimate with a piecewise linear weight function according to the partition of the velocity domain.

研究の動機と目的

• 最小限の仮定の下で、放射輸送方程式における未知係数の逆問題に対して、全域リプシッツ安定性を確立すること。
• 従来の応用を制限していた (v·γ) > 0 などの速度領域制限（例：速度錐）を排除すること。
• 分割された速度領域に適合する区分線形重み関数を用いたCarleman推定量の構築。
• 解の延長や (−T, T) 上での対称性条件を必要とせず、初期データおよび源要因の正値性のみを用いて安定性結果を証明すること。
• MachidaおよびYamamoto（2014）の結果を一般化し、σ や速度構造に関する追加条件の必要性を排除すること。

提案手法

• 速度領域 V を m 個の部分領域 V_i に分割し、各々に固有の重み関数 φ_i(x,t) = (γ_j·x) − βt を割り当て、速度依存性を扱うための区分線形重み関数を用いて、新たなCarleman推定量を導出する。ここで γ_j は速度領域 V を分割する固定ベクトルである。
• 速度領域 V を m 個の部分領域 V_i に分割し、各々に異なる重み関数 φ_i を割り当てて方向依存性を処理する。
• 未知係数 σ と時間に依存しない源要因を有する放射輸送方程式にCarleman推定量を適用する。
• 初期データ a(x,v) および要因 R(x,v,0) > 0 の正値性を用いて、低次の項を制御し、安定性推定量を導出する。
• エネルギー推定量と時間および空間にわたる積分を用いて、境界測定値を介して係数差の L² ノルムを評価する。
• Γ₊ 上のアルベド型測定データの構造を活用して、係数回復における誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速度領域が錐に制限されない状況でも、逆放射輸送問題に対して全域リプシッツ安定性を確立できるか？
• RQ2 Carlemanに基づく安定性証明において、解を (−T, T) に延長する必要や対称性条件 (1.4) を排除することは可能か？
• RQ3 一般の有界な速度領域 V（0 ∉ V̄）に対して、Carleman推定量における区分線形重み関数が効果的に機能するか？
• RQ4 初期データおよび源要因の正値性が、係数回復の安定性にどのように影響するか？
• RQ5 速度領域の分割は、非定常放射輸送方程式に対する有効なCarleman推定量を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 放射輸送方程式における σ および時間に依存しない源要因の逆問題に対して、全域リプシッツ安定性が確立された。
• 従来の研究とは異なり、解を (−T, T) に延長する必要がなかった。
• 速度領域に (v·γ) > 0 という制限的条件を課さず、0 ∉ V̄ を満たす任意の有界な V に対して有効である。
• 鍵となるCarleman推定量は、速度領域を m 個の部分領域に分割した上で、それぞれに対応する区分線形重み関数を用いて構築された。
• 証明は、Ω̄ × V̄ 上で初期データ a(x,v) および要因 R(x,v,0) の厳密な正値性に依存しており、これが安定性推定量の根幹をなす。
• 最終的な安定性推定量は、係数差の L² ノルムを、Γ₊ 上の測定誤差の定数倍で上界で抑え、Carlemanパラメータ s に指数関数的に依存する。