[論文レビュー] Global Low-Energy Weak Solution and Large-Time Behavior for the Compressible Flow of Liquid Crystals

Guochun Wu, Zhong Tan|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、粘性正則化およびコンパクト性の議論を用いて、$ℝ^3$ における圧縮性ネマチック液晶流れの低エネルギー弱解のグローバル存在を確立する。初期データが $L^2$ で小さく、真空中から離れた有界な初期密度を満たす条件下で、解は時間の経過とともに平衡状態に収束し、密度、速度、配向の勾配が $t \to \infty$ のとき $L^p$-ノルムでゼロに収束することが示される。

ABSTRACT

We consider the weak solution of the simplified Ericksen-Leslie system modeling compressible nematic liquid crystal flows in $\mathbb R^3$. When the initial data is small in $L^2$ and initial density is positive and essentially bounded, we first prove the existence of a global weak solution in $\mathbb R^3$. The large-time behavior of a global weak solution is also established.

研究の動機と目的

• 圧縮性エリクセン＝レジス系を用いた $ℝ^3$ 内のネマチック液晶流れをモデルとする、グローバル弱解の存在を確立すること。
• これらの弱解の長時間挙動、特に平衡状態への収束を分析すること。
• 運動量方程式における特異的非線形項 $|\nabla d|^2 d$ および $\nabla d \cdot \Delta d$ の結合が引き起こす課題を克服すること。
• 圧縮性ナビエ＝ストークス系における低エネルギー弱解の枠組みを、より複雑な液晶系へと拡張すること。
• 初期データに最小限の正則性および小ささの仮定を置いたもとで、厳密な存在および収束結果を提供すること。

提案手法

• ガラーキン近似を用いて、近似解 $(\rho^m, u^m, d^m)$ を構成するための粘性正則化法の使用。
• 有効な粘性フラックスおよび渦度分解に依存する、正則化パrameter $m$ に依存しない一様エネルギー推定の導出。
• アウビン＝ライオンズの補題およびアスコリ＝アルツェラの定理を用いて、$ℝ^3 \times (0,\infty)$ 内のコンパクト集合上での $u^m$、$d^m$、および $\nabla d^m$ の強い収束を抽出すること。
• $\rho^m$ が $\rho$ に $\mathbb{R}^3 \times (0,\infty)$ 上のすべての $p \in [2,\infty)$ に対して $L^p$-収束することの確立。
• 近似系における極限を取ることで、分布の意味で元の系を満たす弱解が得られることの確立。
• 時間重み付きエネルギー推定および収束解析を用いて、長時間挙動を導出し、特に速度および配向場勾配の $L^2$-収束を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが $L^2$-ノルムで小さく、初期密度がゼロから離れている場合、$ℝ^3$ 内の圧縮性ネマチック液晶流れに対してグローバル低エネルギー弱解を構成可能か？
• RQ2 時間 $t \to \infty$ のとき、解はどのように振る舞うか？平衡状態に収束するか？
• RQ3 特異的非線形項 $|\nabla d|^2 d$ および結合項 $\nabla d \cdot \Delta d$ は、長時間ダイナミクスにどのような影響を及えるか？
• RQ4 $p \in (2,\infty)$ の $L^p$-ノルムにおいて、速度および配向勾配の収束速度を定量的に評価可能か？
• RQ5 与えられた小ささおよび有界性の仮定のもとで、グローバル弱解は安定的かつ一意的か？

主な発見

• 初期データが $L^2$ で小さく、密度がゼロから離れており、初期配向勾配が $L^p$ ($p > 6$) に属する場合、$ℝ^3$ 内の圧縮性液晶系に対してグローバル弱解が存在する。
• 解は時間に依存しない一様エネルギー境界を満たし、コンパクト性の議論によりグローバル存在が保証される。
• $t \to \infty$ のとき、密度はすべての $l \in (2,\infty)$ に対して $L^l(\mathbb{R}^3)$ 上で平衡状態 $\tilde{\rho}$ に収束する。
• $t \to \infty$ のとき、速度場は $L^2(\mathbb{R}^3)$ 上でゼロに収束し、$\|u(t)\|_{L^2(\mathbb{R}^3)} \to 0$ が成り立つ。
• $t \to \infty$ のとき、配向場の勾配 $\nabla d$ は $r \in (2,6)$ に対して $W^{1,r}(\mathbb{R}^3)$ 上でゼロに収束する。
• 速度および $\nabla d$ について、$W^{1,r}$-ノルムにおける長時間収束が確認され、平衡状態への安定化が裏付けられる。