[論文レビュー] Global Mackey functors with operations and n-special lambda rings

Nora Ganter|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 42被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、等長的コホロジーとλ-環の代数的構造を統一する、べき演算を備えたグローバル・マッキー関手を導入する。$τ$-環をグローバル・パワー関手でパラメトライズすることで、特別なλ-環を一般化し、シュール＝ウェイル同型を$n$-特別なλ-環、部分群の類関数、楕円コホロジーなどの文脈にまで拡張する。表現論およびフォーマル群への応用を含む。

ABSTRACT

Systematically using the language of groupoids, we survey the theory of global Mackey functors, global Green functors and global power functors. Given a global power functor, we study rings with similar operations. The example of n-class functions leads to the notion of an n-special lambda ring.

研究の動機と目的

• 真に等長的コホロジー理論の係数系に、べき演算を備えたグローバル・マッキー関手としての代数的モデルを形式化すること。
• ホフマンの$τ$-環枠組みを表現環から任意のグローバル・パワー関手へ一般化し、追加構造を持つ非特別なλ-環の新規クラスを生み出すこと。
• シュール＝ウェイル同型を、$n$-組の可換な要素、部分群の類関数、楕円的状況における対称シータ関数を含む、新たな文脈へ拡張すること。
• セレフ＝ヤマグチ双対性を介して、$G$-モジュラー関数、レーツクの楕円$λ$-環、スーパーロー環といった既知の代数的構造と、グローバル・パワー関手との関係を確立すること。
• グローバル・マッキー関手の群手による公理的定式化を提示し、ウェブの定義およびブークの定義と比較・統合し、標準的条件下で同値性を証明すること。

提案手法

• 有限群手の言語を用いてグローバル・マッキー関手を定義し、有限群手に値を割り当て、引き戻しおよび押し出しの公理を満たす。
• 対称群$S_n$によってインデックス付けられたべき演算を備えたグローバル・マッキー関手としてグローバル・パワー関手を導入し、$n$重積への$S_n$作用をモデルとする。
• ホフマンの$τ$-環構成をグローバル・パワー関手$M$に適用し、$\bigoplus_{n\geq 0} M(S_n)$またはその双対$M(S_n)^*$によってパrameter化された演算により$τ$-環を定義する。
• 適切な$M$に対して一般化されたシュール＝ウェイル同型$\bigoplus_{n\geq 0}^\wedge M(S_n) \xrightarrow{\cong} \lim_{m\in\mathbb{N}} M(U(m))$を確立し、古典的結果を拡張する。
• $p$-進テートモジュール上のべき演算の作用を分析し、フォーマル群の同種を用いてその振る舞いを記述する。アンドーらの研究に依拠する。
• 群手に基づくグローバル・マッキー関手の定義とウェブの定義を比較し、特にすべての有限群がクラス$\mathcal{X}$および$\mathcal{Y}$に含まれる場合に標準的仮定のもとで同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等長的コホロジーにおけるべき演算は、グローバル・マッキー関手上の演算として、どのように代数的に形式化できるか？
• RQ2 グローバル・パワー関手$M$に対して$\bigoplus_{n\geq 0} M(S_n)$がパラメトライズする正確な代数的構造は何か？ そして、特別な$λ$-環をどのように一般化するか？
• RQ3 シュール＝ウェイル同型は、表現環を超えて、$n$-類関数や$G$-モジュラー関数などの他のグローバル・パワー関手へも拡張可能か？
• RQ4 べき演算はフォーマル群法則とどのように作用するか、特に$p$-進テートモジュールおよび同種の文脈において？
• RQ5 群手に基づくグローバル・マッキー関手の定義は、ウェブの元来の定式化とどの程度同値であり、この同値性の技術的条件は何か？

主な発見

• グローバル・パワー関手は、$K$-理論、コホロジー、モラヴァ$K$-理論を含む、真に等長的コホロジー理論の係数系の統一的代数的枠組みを提供する。
• グローバル・パワー関手$M$上の$τ$-環の構成により、特別でない$λ$-環に追加構造を加えたものが得られ、特別な$λ$-環および$β$-環を一般化する。
• $n$-類関数および$G$-モジュラー関数から得られる$M$に対して、一般化されたシュール＝ウェイル同型$\bigoplus_{n\geq 0}^\wedge M(S_n) \xrightarrow{\cong} \lim_{m\in\mathbb{N}} M(U(m))$が成立する。
• $n$-類関数のグローバル・パワー関手に対して得られる$τ$-環構造は、$n$-特別な$λ$-環に対応し、$n$組の可換な要素のキャラクター情報を取り込む。
• $L = \widehat{\mathbb{Z}}_p^n$上のべき演算の作用は、フォーマル群の同種を用いて記述され、[And95]および[AHS04]の結果をグローバル設定へ一般化する。
• クラス$\mathcal{X}$および$\mathcal{Y}$にすべての有限群が含まれる場合、群手に基づくグローバル・マッキー関手の定義とウェブの定義が完全に同値であることを証明し、新規な形式的定式化が強固な一般化であることを裏付ける。