[論文レビュー] Global maximum principles and divergence theorems on complete manifolds with boundary

Debora Impera, Stefano Pigola+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、境界を持つ非コンパクトなリーマン多様体へ弱最大原理と部分積分を拡張し、新しいグローバル最大原理とノイマン型境界条件を満たす多様体における発散定理を導入する。主な貢献は、これらの道具の有効性がノイマン放物型性を特徴づけることであり、これにより、$N \times \mathbb{R}$ 内の定常平均曲率グラフに関する幾何学的結果が得られる。特に、超レベル集合の体積が有限である条件の下で高さ推定やスライス型定理が得られる。

ABSTRACT

In this paper we extend to non-compact Riemannian manifolds with boundary the use of two important tools in the geometric analysis of compact spaces, namely, the weak maximum principle for subharmonic functions and the integration by parts. The first one is a new form of the classical Ahlfors maximum principle whereas the second one is a version for manifolds with boundary of the so called Kelvin-Nevanlinna-Royden criterion of parabolicity. In fact, we will show that the validity of non-compact versions of these tools serve as a characterization of the Neumann parabolicity of the space. The motivation underlying this study is to obtain new information on the geometry of graphs with prescribed mean curvature inside a Riemannian product of the type $N imes\mathbb{R}$. In this direction two kind of results will be presented: height estimates for constant mean curvature graphs parametrized over unbounded domains in a complete manifold and slice type results for graphs whose superlevel sets have finite volume.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体における幾何解析の主要な道具である弱最大原理と部分積分を、境界を持つ非コンパクトなリーマン多様体へ拡張すること。
• 境界付き多様体上でグローバル最大原理および発散定理の有効性によってノイマン放物型性を特徴づけること。
• これらの道具を用いて、積空間 $N \times \mathbb{R}$ 内の所定の平均曲率を持つグラフに関する幾何学的結果を導出すること。
• 完備多様体内の非有界領域上での定常平均曲率超曲面の高さ推定を確立すること。
• 超レベル集合の体積が有限である条件の下で、半空間内の超曲面に対してスライス型定理を証明すること。

提案手法

• 境界付き多様体上での調和関数に対する弱最大原理の新しい形を、$W^{1,2}_{\text{loc}}(D)$ 内の弱ノイマン下位解を用いて導入する。
• すべての非負の $\varphi \in C_c^\infty(D)$ に対して不等式 $-\int_D \langle \nabla u, \nabla \varphi \rangle \geq 0$ を満たす弱ノイマン解を定義する。
• 境界付き多様体上での $L^2$ ベクトル場に対するグローバル発散定理を確立し、ケルビン＝ネヴァンリンナ＝ロイデンの基準を一般化する。
• $L^2$-ストークス定理を用いて、超レベル集合の体積が有限である仮定の下で半空間内の超曲面に対してスライス型結果を導出する。
• 最大原理および発散定理の有効性が、基礎となる多様体のノイマン放物型性とどのように関連するかを特定する。
• この枠組みを積空間 $N \times \mathbb{R}$ に適用し、所定の平均曲率を持つグラフの解析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな境界付きリーマン多様体上で、グローバル最大原理がどのような条件下で成立するか。
• RQ2 $L^2$-設定において、境界付き多様体への部分積分および発散定理をどのように拡張できるか。
• RQ3 これらの拡張された道具の有効性から、$N \times \mathbb{R}$ 内のグラフのどのような幾何的性質が得られるか。
• RQ4 ノイマン放物型性は、半空間内の超曲面の超レベル集合の体積の有限性とどのように関連するか。
• RQ5 これらの道具を用いて、非有界領域上での定常平均曲率グラフの高さ推定を確立できるか。

主な発見

• 弱ノイマン下位解に対するグローバル最大原理の有効性が、境界付き多様体のノイマン放物型性を特徴づける。
• 境界付き多様体上での $L^2$ ベクトル場に対するグローバル発散定理が確立され、ケルビン＝ネヴァンリンナ＝ロイデンの基準が一般化される。
• ノイマン放物型性の仮定の下で、完備多様体内の非有界領域上での定常平均曲率グラフの高さ推定が得られる。
• 超レベル集合の体積が有限である場合、同じ放物型性条件の下で半空間内の超曲面に対してスライス型定理が証明される。
• この枠組みにより、$\mathbb{R}^3$ 内の完全最小グラフが $\mathcal{D}$-放物型であることが確認され、ネールによる解析的手法による結果が回復される。
• 本稿は、内在的二次体積成長と $\mathcal{D}$-放物型性との間の関係を確立し、体積成長条件によってこのようなグラフが $\mathcal{D}$-放物型であることが示される。