[論文レビュー] Global mirror symmetry for invertible simple elliptic singularities

Todor Milanov, Yefeng Shen|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、FJRW理論（Landau-Ginzburgモデル）とSaito-Givental理論（Calabi-Yau超曲面）の間の鏡写像を構成することにより、可逆的で単純な楕円的特異点に対してグローバルな鏡対称性を確立する。FJRW理論における無限遠点での生成関数が、大複素構造極限におけるSaito-Givental祖先生成関数と一致することを証明し、超幾何的解と周期積分を用いて相関関数とフラット座標を明示的に特定する。

ABSTRACT

A simple elliptic singularity of type $E_N^{(1,1)}$ ($N=6,7,8$) can be described in terms of a marginal deformation of an invertible polynomial $W$. In the papers \cite{KS} and \cite{MR} the authors proved a mirror symmetry statement for some particular choices of $W$ and used it to prove quasi-modularity of Gromov-Witten invariants for certain elliptic orbifold $\mathbb{P}^1$s. However, the choice of the polynomial $W$ and its marginal deformation $ϕ_μ$ are not unique. In this paper, we investigate the global mirror symmetry phenomenon for the one-parameter family $W+σϕ_μ$. In each case the mirror symmetry is governed by a certain system of hypergeometric equations. We conjecture that the Saito-Givental theory of $W+σϕ_μ$ at any special limit $σ$ is mirror to either the Gromov-Witten theory of an elliptic orbifold $\mathbb{P}^1$ or the Fan-Jarvis-Ruan-Witten theory of an invertible simple elliptic singularity with diagonal symmetries, and the limits are classified by the Milnor number of the singularity and the $j$-invariant at the special limit. We prove the conjecture when $W$ is a Fermat polynomial. We also prove that the conjecture is true at the Gepner point $σ=0$ in all other cases.

研究の動機と目的

• 局所的鏡対称性を超えて、大複素構造極限やGepner点を含む複素モジュライのグローバル構造を統合することにより、LG/CY対応を拡張すること。
• 可逆的で単純な楕円的特異点に対して、FJRW理論（Landau-Ginzburg Aモデル）とGromov-Witten理論（Calabi-Yau Bモデル）を統合するグローバルな鏡対称性フレームワークを確立すること。
• 鏡多項式のFJRW状態空間と、大複素構造極限における元の特異点のジャンボリアン代数との間の鏡写像を構成すること。
• 生成関数の全祖先生成関数が、σ→∞の極限においてSaito-Givental祖先生成関数と一致することを、 genus-0 相関関数とフラット座標の明示的計算により証明すること。
• ジャンボリアン代数が σ=∞ で拡張可能であり、それが特定の鏡写像（超幾何的周期とモノドロミーを含む）を通じてFJRW環と一致することを確認すること。

提案手法

• 単純な楕円的特異点の最小変形を構成し、Saito理論を適用して原始形式とPicard-Fuchs方程式を定義する。
• Giventalの量子化形式を用いてBモデルにおける全祖先生成関数を定義し、GKZ系と超幾何的解を活用する。
• 可逆的多項式に対するFJRW理論を適用し、生成子と関係式を用いてFJRW環構造を計算し、全 genus の不変量を genus-0 4点関数から再構成する。
• 周期積分 $ \pi_{A_\infty} \sim x^{-1/12} \, _2F_1(\frac{1}{12}, \frac{5}{12}; \frac{1}{2}; x^{-1}) $ の形からフラット座標を導出し、$ t_{-1} \approx \lambda x^{-1/2} $ を次数ゼロのフラット座標とみなす。
• モノドロミーと $ x=\infty $ 近傍のフラットセクション解を用いて genus-0 相関関数を計算し、係数 $ c_{\mathbf{r}} $ は超幾何恒等式から得られ、$ \lambda_1^6 = 24C_0^2 $、$ C_0^3 = -27/4 $ を満たす定数である。
• 鏡写像 $ (\rho_1, \rho_2) \mapsto ((-1)^{5/6}\delta_{01}, (-1)^{2/3}\delta_{10}) $ を構成し、FJRW環を拡張されたジャンボリアン代数 $ \mathscr{Q}_{W^\infty} = \mathbb{C}[\delta_{10}, \delta_{01}]/(4\delta_{10}^3\delta_{01}, \delta_{10}^4 + 3\delta_{01}^2) $ と同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆的で単純な楕円的特異点に対して、局所的鏡対称性を超えてグローバルな鏡対称性をどのように確立できるか？
• RQ2 Landau-GinzburgモデルのFJRW理論とその鏡Calabi-Yau超曲面のSaito-Givental理論との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 FJRW理論における genus-0 相関関数が σ=∞ のSaito-Givental極限でどのように一致するか？
• RQ4 超幾何的解と周期積分は、2つの理論間の鏡写像を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 ジャンボリアン代数は σ=∞ で拡張可能か？ もしそうなら、FJRW環構造とどのように関係するか？

主な発見

• W' = X_1^4X_2 + X_2^3 + X_3^2 と G_{W'} を用いたFJRW生成関数は、σ→∞ の極限において W_σ = X_1^6 + X_2^3 + X_3^2 + \sigma X_1^4X_2 のSaito-Givental祖先生成関数と一致する。すなわち、\mathscr{A}_{W'}^{\rm FJRW} = \lim_{\sigma \to \infty} \mathscr{A}_{W}^{\rm SG}(\sigma) が成り立つ。
• σ = ∞ における3点 genus-0 相関関数は非ゼロかつ有限であり、\langle \delta_{10}, \delta_{10}, \delta_{40} \rangle = \langle \delta_{10}, \delta_{01}, \delta_{11} \rangle = \langle \delta_{01}, \delta_{01}, \delta_{20} \rangle = 1 および \langle \delta_{10}, \delta_{20}, \delta_{30} \rangle = \langle \delta_{20}, \delta_{20}, \delta_{20} \rangle = -3 が成り立つ。これはジャンボリアン代数の拡張を確認する。
• 4点 genus-0 相関関数は \langle \delta_{01}, \delta_{01}, \delta_{01}, \delta_{-1} \rangle_{0,4} = -\frac{1}{4} および \langle \delta_{10}, \delta_{10}, \delta_{10}^2\delta_{01}, \delta_{-1} \rangle_{0,4} = -\frac{1}{4} であり、超幾何級数の微分を用いて計算された。
• 鏡写像 $ (\rho_1, \rho_2) \mapsto ((-1)^{5/6}\delta_{01}, (-1)^{2/3}\delta_{10}) $ はFJRW環を拡張されたジャンボリアン代数 $ \mathscr{Q}_{W^\infty} $ と同定し、グローバルな鏡対称性を確認する。
• 定数 $ \lambda = \frac{\lambda_1^4 \lambda_2}{54} $ は鏡写像と相関関数の整合性を保つために固定される。
• フラット座標 $ t_{-1} \approx \lambda x^{-1/2} $ は次数ゼロであり、残留ペアリングが定数であることから確認され、超幾何的周期の比 $ \pi_{A_\infty}/\pi_{B_\infty} $ から導出される。