[論文レビュー] Global pluripotential theory over a trivially valued field

Sébastien Boucksom, Mattias Jönsson|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 110被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Berkovich幾何を用いて、自明な値の付く体上の射影的多様体に対して、グローバルな多正則的理論を確立し、有限エネルギー関数および測度を導入し、非アーベル・モンジュ＝アンペール作用素を定義する。主な貢献は、トーリック多様体における非アーベル・カラビ＝ヤウ定理であり、エネルギー関数とLegendre変換、およびモーメント多面体上の最適輸送を結びつける。

ABSTRACT

We develop global pluripotential theory in the setting of Berkovich geometry over a trivially valued field. Specifically, we define and study functions and measures of finite energy and the non-Archimedean Monge-Ampere operator on any (possibly reducible) projective variety. We also investigate the topology of the space of valuations of linear growth, and the behavior of psh functions thereon.

研究の動機と目的

• 複素幾何から非アーベル幾何への多正則的理論の拡張を、自明な値の付く体上のBerkovich空間を用いて行う。
• 射影的多様体（可能なかぎり非既約なものも含む）における有限エネルギー関数および測度を定義し、それらを研究する。
• エネルギー関数とモンジュ＝アンペール測度を用いて、カラビ＝ヤウ定理の非アーベル類似を確立する。
• 線形成長の整列の空間の位相と、その上でのpsh関数の挙動を分析する。
• Berkovich解析化上の分岐線形関数を介して、理論をK安定性およびテスト配置に結びつける。

提案手法

• 自明な値の付く体上の射影的多様体 $X$ のBerkovich解析化 $X^{\mathrm{an}}$ 上で、正則的（psh）関数を定義する。
• 拡張されたエネルギー関数とその微分可能性を用いて、エネルギーペアリングと有限エネルギークラス $\mathcal{E}^1$ を導入する。
• 混合モンジュ＝アンペール積を用いて、$\omega$-psh関数 $\varphi$ に対する非アーベル・モンジュ＝アンペール測度 $\operatorname{MA}_\omega(\varphi)$ を構成する。
• 写像 $\rho: X^{\mathrm{val}} \to N_{\mathbb{R}}$ を用いて、トーリック多様体上の $T(k)$-不変psh関数をモーメント多面体上の凸関数に結びつける。
• Legendre双対性を用いて、$\mathcal{E}^1$-関数を多面体 $P$ 上の $L^1$-可積分なLegendre変換に同定する。
• モンジュ＝カンタロヴィチ双対性を用いて、エネルギーと最適輸送コスト $N_{\mathbb{R}} \times P$ 上の関係を確立し、非アーベル・カラビ＝ヤウ定理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多正則的理論を、自明な値の付く体上の非アーベル幾何にどのように拡張できるか？
• RQ2 線形成長の整列の空間の構造は何か？ そして、その上でのpsh関数の挙動はいかなるものか？
• RQ3 この設定において、有限エネルギー関数および測度をどのように定義し、特徴づけられるか？
• RQ4 トーリック多様体の文脈における非アーベル・カラビ＝ヤウ定理の類似は何か？
• RQ5 モーメント多面体上の最適輸送は、エネルギー関数とモンジュ＝アンペール測度とどのように関係するか？

主な発見

• $\omega$-psh関数 $\varphi$ の非アーベル・モンジュ＝アンペール測度は、$\operatorname{MA}_\omega(\varphi) = V_P^{-1} \iota_* \operatorname{MA}_{\mathbb{R}}(f_\varphi)$ で与えられる。ここで $f_\varphi$ は $\varphi$ に対応する $N_{\mathbb{R}}$ 上の凸関数である。
• $T(k)$-不変な $\omega$-psh関数 $\varphi$ が $\mathcal{E}^1_{\mathrm{tor}}(\omega)$ に属するための必要十分条件は、そのLegendre変換 $f_\varphi^\vee$ が $L^1(P)$ に属することである。
• $\mathcal{E}^1_{\mathrm{tor}}(\omega)$ 内での収束 $\varphi_i \to \varphi$ は、$f_{\varphi_i}^\vee \to f_\varphi^\vee$ が $L^1(P)$ 内で収束することと同値である。
• $v \in N_{\mathbb{R}}$ におけるDirac測度 $\delta_v$ のエネルギーは、最適輸送コスト $\mathrm{C}_P(\delta_v) = f_P(v) - \langle v, u_P \rangle$ に等しい。ここで $u_P$ は多面体 $P$ の重心である。
• 双対エネルギー関数 $\operatorname{E}^\vee_\omega(\mu)$ は最適輸送コスト $\mathrm{C}_P(\mu)$ に等しく、エネルギーと輸送コストの双対性を確立する。
• 非アーベル・カラビ＝ヤウ定理が成立する：任意の $N_{\mathbb{R}}$ 上の確率測度 $\mu$ に対して、モンジュ＝アンペール方程式の解は、輸送コスト $\mathrm{C}_P(\mu)$ の最小化子に対応する。