[論文レビュー] Global solutions to the Porous medium equations on singular manifolds

Yuanzhen Shao|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ワイスドエンドおよびβ-除去可能な特異点を有する特異リーマン多様体上における多孔質媒体方程式の解の全域的存在および安定性を確立する。$ L^1 $-型関数空間におけるPoincaré不等式とCrandall-Liggett生成定理を用いて、任意の初期データ $ u_0 o L^1( ext{M}) $ に対して、$ C([0, y), L^1( ext{M})) $ 内に一意の全域的弱解が存在することを証明し、時間経過に伴い $ L^1 $-圧縮性が保たれることを示す。

ABSTRACT

The main objective of the present work is to discuss the global existence and stability of solutions to the porous medium equations on Riemannian manifolds with singularities. Several different types of solutions are considered. Our proof is based on a Poincare inequality on function space defined on manifolds with singularities.

研究の動機と目的

• 特異点を有するリーマン多様体上における多孔質媒体方程式の解の全域的存在を確立すること。
• 時間発展における $ L^1 $-ノルムにおける解の安定性を証明すること。
• 滑らかでない幾何的設定（ワイスドエンドおよび除去可能な特異点を有する）にまで多孔質媒体方程式の理論を拡張すること。
• 特異多様体上におけるラプラシアン＝ベルトラミー作用素の $ L^1 $-実現を用いた関数解析的枠組みを構築すること。
• $ L^1 $-圧縮性が解に保持されることを示し、初期データの摂動に対して安定性を保証すること。

提案手法

• ワイスドエンドおよび $ oldsymbol{eta} $-除去可能な特異点を有する特異多様体上における $ L^1( ext{M}) $-型関数空間におけるPoincaré不等式を用いる。
• 非線形作用素 $ ilde{eta}(u) = - abla ext{div}(|u|^{n-1}u) $ を定義し、Crandall-Liggett定理を用いて $ L^1( ext{M}) $ 内で $ m $-増大的であることを証明する。
• Crandall-Liggett生成定理を適用し、時間陰性近似スキームを用いて全域的弱解を構成する。
• Sobolev型重み付き推定を用いて、作用素 $ ilde{eta} $ の定義域が $ L^1( ext{M}) $ で稠密であることを確立する。
• 特異集合からの距離 $ ho $ を用いた重み $ ho^{-2} $ を用いた重み付き $ L^p $-ノルムを用い、特異点近傍における成長および可積分性を制御する。
• $ ilde{eta}(u) o L^1( ext{M}) $ が $ u o W^{2,-2}_p( ext{M}) $ のとき成り立つことを示し、作用素が適切に定義されかつ稠密に定義されていることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワイスドエンドおよび $ oldsymbol{eta} $-除去可能な特異点を有するリーマン多様体上において、多孔質媒体方程式の全域的解を確立できるか？
• RQ2 このような特異多様体上でも、解の $ L^1 $-ノルムが時間経過に伴い圧縮的（contractive）に保たれるか？
• RQ3 Crandall-Liggett定理を特異多様体上における $ L^1 $-空間に適用し、全域的弱解を生成できるか？
• RQ4 特異多様体上におけるラプラシアン＝ベルトラミー作用素およびその非線形摂動を定義・解析するための関数解析的枠組みは何か？
• RQ5 重み $ ho^{-2} $ を用いた重み付きSobolevノルムは、特異点近傍における解の正則性および可積分性をどのように制御するか？

主な発見

• 任意の初期データ $ u_0 o L^1( ext{M}) $ に対して、多孔質媒体方程式は一意の全域的弱解 $ u o C([0, y), L^1( ext{M})) $ を持つ。
• 解は $ L^1 $-圧縮性を満たす：任意の $ t o [0, y) $ に対して $ orm{u_1(t) - u_2(t)}_1 o orm{u_{0,1} - u_{0,2}}_1 $ が成り立ち、安定性が保証される。
• 非線形作用素 $ ilde{eta}(u) = - abla ext{div}(|u|^{n-1}u) $ は $ L^1( ext{M}) $ 内で $ m $-増大的であり、Crandall-Liggett定理の適用が可能である。
• 作用素 $ ilde{eta} $ の定義域は $ L^1( ext{M}) $ で稠密であり、$ p > sn $ のとき $ W^{2,-2}_p( ext{M}) $ が $ ext{dom}( ilde{eta}) $ に埋め込まれることで確認される。
• 重み $ ho^{-2} $ を用いた重み付き $ L^p $-推定により、$ ilde{eta}(u) o L^1( ext{M}) $ が $ u o W^{2,-2}_p( ext{M}) $ のとき成り立つことが保証され、作用素の作用が正当化される。
• 証明は、特異多様体の幾何的構造に起因する $ L^1( ext{M}) $ 内のPoincaré不等式に依拠しており、これにより強制的推定（coercivity estimates）が可能となる。