[論文レビュー] Global Strong Solutions for 3D Viscous Incompressible Heat Conducting Navier-Stokes Flows with Non-negative Density

Xin Zhong|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非負の密度を伴う3次元の粘性・非圧縮性・熱伝導性ナビエ＝ストークス流れに対して、グローバルな強い解の存在を確立する。滑らかなエネルギー推定とストークス系および楕円型方程式の正則性特性を活用することで、速度にSerrin型の条件が満たされ、初期データに小さな仮定がおかれている場合にグローバル存在を証明する。

ABSTRACT

We are concerned with an initial boundary value problem for the nonhomogeneous heat conducting Navier-Stokes flows with non-negative density. First of all, we show that for the initial density allowing vacuum, the strong solution exists globally if the velocity satisfies the Serrin's condition. Then, under some smallness condition, we prove that there is a unique global strong solution to the 3D viscous nonhomogeneous heat conducting Navier-Stokes flows. Our method relies upon the delicate energy estimates and regularity properties of Stokes system and elliptic equation.

研究の動機と目的

• 3次元非一様熱伝導性ナビエ＝ストークス方程式に対して、非負の密度を伴うグローバルな強い解の存在を扱う。
• 初期密度が消える場合（すなわち、真空中を許容する場合）を分析する。
• 速度場にSerrin型の積分可能性条件が満たされる場合にグローバル存在を確立する。
• 初期データに小さな仮定をおくことで、一意性およびグローバル存在を証明する。

提案手法

• ナビエ＝ストークス系における非線形項を制御するため、繊細なエネルギー推定を用いる。
• 速度および圧力成分を扱うために、ストークス系の正則性特性を利用する。
• 温度および圧力方程式に対して、楕円型正則性理論を適用する。
• 解のノルムを時間に一様に有界にするために、事前推定を用いる。
• 初期データの小さな仮定の下で、ガラーキン近似と極限操作を用いて存在を確立する。
• Serrin型条件と初期データの小さな仮定を組み合わせ、グローバル存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元非一様熱伝導性ナビエ＝ストークス流れに、真空を伴ってグローバルな強い解が存在する条件は何か？
• RQ2 密度が非負であり、かつゼロとなる可能性がある場合に、速度にSerrin条件がグローバル存在を保証できるか？
• RQ3 初期データにどのような小さな条件をおくと、一意なグローバルな強い解が存在するか？

主な発見

• 速度がSerrin条件を満たす限り、3次元の粘性・非圧縮性・熱伝導性ナビエ＝ストークス流れに、非負の密度を伴うグローバルな強い解が存在する。
• 初期データに適切な小さな仮定をおくと、一意なグローバルな強い解が存在する。
• この手法は、エネルギー推定およびストークス系と楕円型方程式の正則性結果に依存する。
• 初期密度が一部の領域で消える場合（すなわち、真空中を許容する場合）でも、解析は成り立つ。
• 提示された条件下で、解は強い性質を保ち、時間全域にわたり定義され、正則性と一意性が保証される。