[論文レビュー] Global Symmetry and Maximal Chaos

Indranil Halder|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 53被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、グローバル対称性をもつ量子系におけるカオス限界を一般化し、化学ポテンシャルに依存する修正されたリャプノフ指数の限界を導出する。有限の電荷を生成する演算子に対しては、限界は $\lambda_L \leq \frac{2\pi T}{\hbar}$ のまま維持されるが、任意に高い電荷を生成する演算子に対しては、限界が $\lambda_L \leq \frac{2\pi T}{(1 - |\mu/\mu_c|)\hbar}$ に変化し、これは回転対称性を持つホログラフィック2次元CFTにおいて飽和する。

ABSTRACT

In this note we study chaos in generic quantum systems with a global symmetry generalizing seminal work [arXiv : 1503.01409] by Maldacena, Shenker and Stanford. We conjecture a bound on instantaneous chaos exponent in a thermodynamic ensemble at temperature $T$ and chemical potential $μ$ for the continuous global symmetry under consideration. For local operators which could create excitation up to some fixed charge, the bound on chaos (Lyapunov) exponent is independent of chemical potential $λ_L \leq \frac{2 πT}{ \hbar} $. On the other hand when the operators could create excitation of arbitrary high charge, we find that exponent must satisfy $λ_L \leq \frac{2 πT}{(1-|\fracμ{μ_c}|) \hbar} $, where $μ_c$ is the maximum value of chemical potential for which the thermodynamic ensemble makes sense. As specific examples of quantum mechanical systems we consider conformal field theories. In a generic conformal field theory with internal $U(1)$ symmetry living on a cylinder the former bound is applicable, whereas in more interesting examples of holographic two dimensional conformal field theories dual to Einstein gravity, we argue that later bound is saturated in presence of a non-zero chemical potential for rotation.

研究の動機と目的

• Maldacena-Shenker-Stanfordのカオス限界を、グローバル対称性をもつ量子系に拡張すること。
• 保存電荷の化学ポテンシャルが熱的系におけるリャプノフ指数に与える影響を調査すること。
• 演算子が任意に高い電荷励起を生成できる場合、カオス限界がどのように変化するかを特定すること。
• 回転対称性をもつホログラフィック conformal field theories における限界の飽和を検討すること。
• 演算子の成長、熱化、および複素解析的手法の間の関係を確立すること。

提案手法

• 量子カオスのプローブとして、二乗交換子 $ C(t) = -\langle [W(t), V(0)]^2 \rangle $ を用いる。
• スクラムブリング領域 $ t_d < t < t_* $ における $ C(t) $ の指数的成長を、リャプノフ指数 $ \lambda_L $ で定量化する。
• 特に、Phragmen-Lindelof定理とSchwarz-Pick補題を用いて、演算子成長の限界を導出する複素解析的手法を適用する。
• 解析接続領域の半スリット領域をコンformal mappingで単位円板に写像し、最大モジュラスの原理を適用する。
• 実軸上での関数 $ f(t) $ の微分の限界を導出し、微小摂動の極限で $ |\lambda_L| \leq \frac{2\pi}{\beta} $ が得られる。
• 二つの場合を検討する：有限電荷演算子（$ \mu $ に依存しない限界）と無限電荷演算子（$ \mu $ と $ \mu_c $ に依存する限界）

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバルU(1)対称性は、熱状態における量子カオス限界にどのように影響するか？
• RQ2 保存電荷をもつ系において、化学ポテンシャルはリャプノフ指数にどのような影響を及えるか？
• RQ3 演算子が任意に高い電荷励起を生成できる場合、カオス限界は変化するか？
• RQ4 非ゼロの回転化学ポテンシャルをもつホログラフィックCFTにおいて、修正されたカオス限界は飽和するか？
• RQ5 複素解析的手法は、量子系における時系列外相関関数の成長をどのように制約するか？

主な発見

• 有限電荷を生成する演算子に対しては、リャプノフ指数が $ \lambda_L \leq \frac{2\pi T}{\hbar} $ を満たし、化学ポテンシャルに依存しない。
• 任意に高い電荷を生成する演算子に対しては、限界が $ \lambda_L \leq \frac{2\pi T}{(1 - |\mu/\mu_c|)\hbar} $ に変化し、ここで $ \mu_c $ は臨界化学ポテンシャルである。
• 修正された限界は、非ゼロの回転化学ポテンシャルをもつホログラフィック2次元CFT（Einstein重力に双対）において飽和する。
• 導出は、コンフォーマル写像とPhragmen-Lindelof型定理に依存し、複素平面における演算子成長の限界を導出する。
• スクラムブリング時間が化学ポテンシャルによって短縮されても、系が適切な熱力学的系に保たれる限り、限界は有効である。
• 解析により、バタフライ効果と演算子成長が、グローバル対称性構造と保存電荷の内容に敏感であることが示された。