[論文レビュー] Global uniqueness in inverse boundary value problems for Navier-Stokes equations and Lamé system in two dimensions

Oleg Imanuvilov, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元におけるナビエ＝ストークス方程式および等方的ラメ系に対する逆境界値問題のグローバル一意性を確立し、微小性の仮定なしに、粘性係数およびラメ係数がディリクレからノイマンへの写像から一意に特定可能であることを証明する。この手法は、システムを弱く結合された形に分解した後、複素幾何学的光学解を構築することに依存し、これによりカーレマン推定式を用いて係数を一意に回復できる。

ABSTRACT

We consider inverse boundary value problems for the Navier-Stokes equations and the isotropic Lamé system in two dimensions. The uniqueness without any smallness assumptions on unknown coefficients, which is called global uniqueness, was longstanding open problems for the Navier-Stokes equations and the isotropic Lamé system in two dimensions. We prove the global uniqueness for both inverse boundary value problems. Our methodology are common for both systems and the key is the construction of complex geometric optics solutions after decoupling the systems into weakly coupling systems.

研究の動機と目的

• 2次元ナビエ＝ストークス方程式に対する逆境界値問題におけるグローバル一意性という長年の未解決問題を解決すること。
• 2次元等方的ラメ系におけるラメ係数を、ディリクレからノイマンへの写像から一意に特定する逆問題のグローバル一意性を確立すること。
• 複素幾何学的光学解およびカーレマン推定式を用いて、ナビエ＝ストークス系およびラメ系の両方に適用可能な統一された手法を開発すること。
• 未知係数に微小性または解析的条件を課さず、 Hölder もしくはソボレフ正則性条件のみで一意性を達成すること。

提案手法

• ナビエ＝ストークスおよびラメ系を弱く結合された形に分解し、複素幾何学的光学解の構築を容易にする。
• 漸近展開および振動する位相を用いて、分解済みシステムの複素幾何学的光学解を構築する。
• 解とディリクレからノイマンへのデータを組み合わせることで、係数（粘性係数 μ およびラメ係数 λ, μ）の2階偏微分方程式系を導出する。
• 重み関数 φs を用いたカーレマン推定式を、得られた系に適用し、係数の微分の L² ノルムを制御する。
• カーレマン推定式を用いて、係数の差が恒等的にゼロでない限り矛盾が生じることを示し、一意性を導く。
• 領域の有限部分被覆を構築して局所的解析を行い、係数のグローバル回復を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元ナビエ＝ストークス方程式における粘性係数 μ は、微小性の仮定なしにディリクレからノイマンへの写像から一意に特定可能か？
• RQ2 2次元等方的ラメ系におけるラメ係数 (λ, μ) のグローバル一意性は、境界測定値から達成可能か？
• RQ3 複素幾何学的光学およびカーレマン推定式に基づく統一的アプローチを、ナビエ＝ストークス系およびラメ系の両方に適用可能か？
• RQ4 μ および λ にどのような正則性条件があれば、逆境界値問題におけるグローバル一意性が保証されるか？

主な発見

• 2次元ナビエ＝ストークス逆問題におけるグローバル一意性が確立された：ディリクレからノイマンの写像 Λμ₁ と Λμ₂ が一致するならば、Ω 内で μ₁ = μ₂ である。微小性や解析的条件の仮定は一切不要である。
• 2次元等方的ラメ系におけるグローバル一意性が証明された：Λμ₁,λ₁ = Λμ₂,λ₂ ならば、Ω 内で μ₁ = μ₂ および λ₁ = λ₂ である。
• 本手法は、システムを分解した後、複素幾何学的光学解を構築することに依存しており、これにより係数の2階偏微分方程式系が導出可能である。
• 重み関数 φs を用いたカーレマン推定式が、得られた系に適用され、係数の微分の L² ノルムが制御され、係数の差が消えることが結論づけられる。
• 有限部分被覆の議論を用いて局所的解析を行い、境界データから係数のグローバル回復を保証する。
• 本結果は、係数に C¹⁰ 正則性の仮定がある場合に成立し、これは解の構築および推定に十分である。