[論文レビュー] Global weak solutions to compressible quantum Navier-Stokes equations with damping

Alexis Vasseur, Cheng Yu|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、大規模な初期データに対して、減衰項と劣勾配粘性を有する3次元圧縮性量子ナビエ＝ストークス方程式の時間全域における弱解の存在を確立する。ファエド＝ガラーキン法とコンパクト性の議論を用いて、非線形な3階量子ボーム項の課題にもかかわらず近似解の収束を証明し、劣勾配粘性を有する圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する時間全域における弱解の存在という長年の未解決問題への重要な一歩を提供する。

ABSTRACT

The global-in-time existence of weak solutions to the barotropic compressible quantum Navier-Stokes equations with damping is proved for large data in three dimensional space. The model consists of the compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosity, and a nonlinear third-order differential operator, with the quantum Bohm potential, and the damping terms. The global weak solutions to such system is shown by using the Faedo-Galerkin method and the compactness argument. This system is also a very important approximated system to the compressible Navier-Stokes equations. It will help us to prove the existence of global weak solutions to the compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosity in three dimensional space.

研究の動機と目的

• 3次元における減衰項と劣勾配粘性を有する圧縮性量子ナビエ＝ストークス方程式に対する時間全域における弱解の存在を確立すること。
• 標準的なメレット＝ヴァッセール型推定が無効化される強力な非線形性を示す3階量子ボーム項が引き起こす数学的困難を克服すること。
• 3次元における劣勾配粘性を有する完全な圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する時間全域における弱解の証明を可能にする基礎的近似系を提供すること。
• エネルギー推定とコンパクト性推定を注意深く行うことで、ブレシュ＝デシャルダンのエントロピー構造を量子減衰系へと拡張すること。

提案手法

• 有限次元部分空間上でのガラーキン射影を用いて、ファエド＝ガラーキン法により近似解を構築する。
• 2段階の正則化を実施：第3階の量子項を扱うために人工的粘性（η）と4次微分項（δ）を追加する。
• エネルギー推定とBDエントロピー構造を用いて、正則化パラメータに依存しない一様なバインディングを導出する。
• アウビン＝ロニオンスの補題と補間不等式を用いたコンパクト性の議論により、η, δ → 0 の極限に移行する。
• コンパクト性と近似解の収束を可能にするために、減衰項 $-r_0\mathbf{u} - r_1\rho|\mathbf{u}|^2\mathbf{u}$ と量子項 $\kappa\rho\nabla(\Delta\sqrt{\rho}/\sqrt{\rho})$ を用いて重要な推定を導出する。
• テスト関数 $\rho\varphi$ と重み付きエネルギー推定を用いて、弱形式における対流項と量子項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な初期データに対して、劣勾配粘性と減衰項を有する3次元圧縮性量子ナビエ＝ストークス方程式に対する時間全域における弱解を構成できるか？
• RQ2 メレット＝ヴァッセール型推定が利用できない状況において、非線形的3階量子ボーム項はどのように取り扱えるか？
• RQ3 減衰項 $-r_0\mathbf{u} - r_1\rho|\mathbf{u}|^2\mathbf{u}$ は、近似解のコンパクト性と収束性をどのように支援するか？
• RQ4 正則化および極限過程において、エネルギー不等式とBDエントロピー構造は保持されるか？
• RQ5 この系は、3次元における劣勾長粘性を有する完全な圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する有効な近似として機能できるか？

主な発見

• 初期データが $L^\infty \times L^2$ に属する場合、減衰項と劣勾長粘性を有する3次元圧縮性量子ナビエ＝ストークス方程式に対して、時間全域における弱解が存在する。
• 極限解に対してエネルギー不等式 $E(t) + \int_0^T \int_\Omega \rho|\mathbb{D}\mathbf{u}|^2 + r_0|\mathbf{u}|^2 + r_1\rho|\mathbf{u}|^4 \,dx\,dt \leq E_0$ が成立する。
• $\delta \int_0^T \int_\Omega \rho_\delta \nabla \Delta^9 \rho_\delta \varphi \,dx\,dt \to 0$ が $\delta \to 0$ のとき成り立ち、量子正則化の収束を保証する。
• アウビン＝ロニオンスの補題と一様なバインディングを用いて、$\sqrt{\rho_\kappa} \mathbf{u}_\kappa \to \sqrt{\rho} \mathbf{u}$ が $L^2((0,T)\times\Omega)$ で強い収束が確立される。
• 極限解は、弱形式を満たしており、量子項 $\kappa\rho\nabla(\Delta\sqrt{\rho}/\sqrt{\rho})$ を含む。また、$\rho\mathbf{u} \in C([0,T];L^{3/2}_{\text{weak}}(\Omega))$ を満たす。
• この結果により、3次元における劣勾長粘性を有する圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する時間全域における弱解の証明を可能にする、重要な近似フレームワークが提供される。