[論文レビュー] Global well-posedness and large time behavior of strong solution to a kinetic-fluid model

Fucai Li, Yanmin Mu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2015

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、3次元空間における密度に依存する摩擦力によって結合された、Vlasov-Fokker-Planck方程式と圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を結合した運動論的・流体モデルに対して、強い解のグローバルな適切性を確立する。全空間では平衡状態への代数的収束を、周期的領域では小さな初期摂動のもとで指数的収束を示す。

ABSTRACT

This paper is concerned with a kinetic-fluid model describing the evolutions of disperse two-phase flows. The model consists of the Vlasov-Fokker-Planck equations for the particles (disperse phase) coupled with the compressible Navier-Stokes equations for the fluid (fluid phase) through the friction force. Our friction force depends on the density, which is different from many previous studies on kinetic-fluid models. The global well-posedness of strong solution in the three-dimensional whole space is established when the initial data is a small perturbation of some given equilibrium. Moreover, the algebraic rate of convergence of solution toward the equilibrium state is obtained. For the periodic domain the same global well-posedness result still holds while the convergence rate is exponential.

研究の動機と目的

• 分散二相流の運動論的・流体モデルにおける強い解のグローバル存在および長時間挙動の分析を目的とする。
• 粒子密度に依存する摩擦力によって粒子相と流体相を結合することにより、従来のモデルとは異なる新たな結合メカニズムを扱う。
• 全空間および周期的領域における解の平衡状態への収束速度を確立する。

提案手法

• 粒子にVlasov-Fokker-Planck方程式、流体に圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を定式化し、粒子密度に依存する摩擦力によって結合する。
• エネルギー推定とSobolev埋め込み技術を用いて、解の枠組みにおける非線形項を制御する。
• スペクトル解析と減衰推定を用いて、周期的領域設定における収束速度を導出する。
• 小初期データ理論を用いて、全空間における強い解のグローバル存在および安定性を証明する。
• 重み付きエネルギー空間と時間重み付きノルムを用いて、全空間における代数的減衰を捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元空間において、結合された運動論的・流体系が、初期データが平衡状態の小さな摂動である場合に、一意的なグローバルな強い解をもつための条件は何か？
• RQ2 粒子密度に依存する摩擦力は、解の長時間挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ3 全空間と周期的領域における平衡状態への収束速度はそれぞれどのように異なるか？
• RQ4 初期データが平衡状態の小さな摂動である場合、解はグローバルに適切に定義されたままであるか？
• RQ5 全空間（代数的減衰）と周期的領域（指数的減衰）における減衰速度の違いは何か？

主な発見

• 初期データが平衡状態の小さな摂動である場合、3次元全空間において強い解のグローバルな適切性が確立される。
• 全空間では、エネルギー推定から導かれる特定の減衰率を有する代数的収束が解に見られる。
• 周期的領域では、解は指数的に速く平衡状態に収束し、より強い安定化が示唆される。
• 粒子密度に依存する摩擦力は、定数力モデルとは異なる新たな結合メカニズムを導入する。
• 解析により、最小限の正則性仮定のもとで、全運動論的・流体系の安定性および長時間挙動が確認される。