[論文レビュー] Global well posedness and scattering for the elliptic and non-elliptic derivative nonlinear Schrodinger equations with small data

Baoxiang Wang|ArXiv.org|Mar 18, 2008

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、臨界および亜臨界のベソフ空間およびモジュレーション空間において、初期データが小さい場合の楕円型および非楕円型の微分非線形シュレーディンガー方程式について、グローバルな適切性と散乱を確立する。シュレーディンガー群に対するグローバル最大関数推定式を用いて、$B^{s}_{2,1}$ および $M^{s}_{2,1}$ において $s > n/2 + 3/2$ の条件下で散乱作用素の存在と一意なグローバル解の存在を証明する。1次元では鋭い結果が得られる。

ABSTRACT

We study the Cauchy problem for the generalized elliptic and non-elliptic derivative nonlinear Schrodinger equations, the existence of the scattering operators and the global well posedness of solutions with small data in Besov spaces and in modulation spaces are obtained. In one spatial dimension, we get the sharp well posedness result with small data in critical homogeneous Besov spaces. As a by-product, the existence of the scattering operators with small data is also shown. In order to show these results, the global versions of the estimates for the maximal functions on the elliptic and non-elliptic Schrodinger groups are established.

研究の動機と目的

• 一般化された微分非線形シュレーディンガー方程式（gNLS）の、楕円型および非楕円型の両ケースにおいて、初期データが小さい場合のグローバル適切性を確立すること。
• 臨界および亜臨界関数空間におけるgNLSの散乱作用素の存在を証明すること。
• 最大関数推定式を用いて、非楕円型シュレーディンガー群への分散推定式の適用範囲を拡張すること。
• 1次元空間における臨界同次ベソフ空間 $\dot{B}^{s}_{2,1}$ における鋭い適切性結果を達成すること。
• 初期データが小さいという仮定の下で、$B^{s}_{2,1}$ および $M^{s}_{2,1}$ 空間における解のグローバル挙動を示すこと。

提案手法

• 楕円型および非楕円型シュレーディンガー群の両方について、非線形項の制御に不可欠なグローバル版の最大関数推定式を確立した。
• 局所的 $L^2$-型推定式（単位立方体 $Q_\alpha$ 上）を用いた、分散的滑らかさ効果に基づく第3の手法を採用し、微分非線形項を制御した。
• 混合ノルムのベソフ型ノルム $\ell^{1,s-1/2}_{\triangle}\ell^{\infty}_{\alpha}(L^{2}_{t,x})$ および $\ell^{1,s-1/2}_{\triangle}\ell^{2+4/n}_{\alpha}(L^{\infty}_{t,x} \cap L^{2m}_{t}L^{\infty}_{x})$ を用いて解空間 $X_0$ を定義した。
• 非線形項 $F(u, \bar{u}, \nabla u, \nabla \bar{u})$（次数 $\kappa + \nu \geq 5$）の制御に、ベルンシュタインの不等式とストリッカーツ型推定式を適用した。
• リトルウッド＝パイルの分解および周波数局在化を用いて、$j \in \mathbb{Z}$ に対して $\|\triangle_j F\|_{L^{6/5}_{x,t}}$ および $\|\triangle_j F\|_{L^1_x L^2_t}$ を推定した。
• 解空間 $X_0$ における固定点法を組み合わせ、初期データが小さい条件下でグローバル解の存在と一意性を証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが小さい場合に、微分非線形シュレーディンガー方程式の両方の楕円型および非楕円型ケースにおいてグローバル適切性を確立できるか？
• RQ2 1次元空間における臨界同次ベソフ空間 $\dot{B}^{s}_{2,1}$ におけるグローバル適切性の鋭い正則性閾値は何か？
• RQ3 初期データが小さい場合に、$B^{s}_{2,1}$ および $M^{s}_{2,1}$ 空間におけるgNLS方程式に対して散乱作用素が存在するか？
• RQ4 非楕円型シュレーディンガー群に対する最大関数推定式をグローバルに拡張し、適切性結果を支持できるか？
• RQ5 微分非線形項を扱う際の最適な関数空間枠組みは、ベソフ空間かモジュレーション空間か？

主な発見

• 初期データが $B^{s}_{2,1}$ または $n=2$ の場合の $B^{s}_{2,1} \cap \dot{H}^{-1/2}$ で小さいとき、$B^{s}_{2,1}(\mathbb{R}^n)$ において $s > n/2 + 3/2$ の条件下でgNLS方程式はグローバル適切性を有する。
• 1次元空間では、臨界同次ベソフ空間 $\dot{B}^{s}_{2,1}$ において $s = 1/2 + n/2 = 1$ の条件下で鋭い適切性結果が達成される。
• 初期データが $B^{s}_{2,1}$ で小さいとき、散乱作用素が存在し、解は $t \to \pm\infty$ のとき $L^2$-意味で自由解に散乱する。
• 解空間 $X_0$ は、$L^\infty_t L^2_x$ および $L^6_{x,t}$ ノルムの両方を制御し、 dyadic cube 上での $\ell^{1,s-1/2}_{\triangle}$-重み付き推定式を備える。
• 非線形項 $F(u, \bar{u}, \nabla u, \nabla \bar{u})$ が $\|\mathscr{A}F\|_X \lesssim \sum_{5 \leq \kappa+\nu \leq M+1} \|u\|_X^{\kappa+\nu}$ を満たすことが示され、固定点法の適用が可能となった。
• この手法はモジュレーション空間 $M^{s}_{2,1}$ に対しても拡張可能であり、同様にグローバル適切性と散乱が証明された。