[論文レビュー] Global well-posedness for the defocusing mass-critical stochastic nonlinear Schrödinger equation on $\mathbb{R}$ at $L^2$ regularity

Chenjie Fan, Weijun Xu|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}$ 上の質量臨界定常確率非線形シュレーディンガー方程式に対して、制限された非臨界定常近似と極限操作を用いて、$L^2$ 正則性におけるグローバルな適切性を確立する。任意の $L^2$ 初期データに対して、解の存在、一意性、パスごとの質量保存を示し、十分に滑らかなノイズの仮定の下で、初期データの摂動に対して安定であることを示す。

ABSTRACT

We prove global existence and stability of solution to the mass-critical stochastic nonlinear Schrödinger equation in $d=1$ at $L^2$ regularity. Our construction starts with the existence of solution to the truncated subcritical problem. With the presence of truncation, we construct the solution to the critical equation as the limit of subcritical solutions. We then obtain uniform bounds on the solutions to the truncated critical problems that allow us to remove truncation in the limit.

研究の動機と目的

• 任意の $L^2$ 初期データをもつ $\mathbb{R}$ 上の非焦点的質量臨界定常確率非線形シュレーディンガー方程式に対する解のグローバル存在および安定性を確立すること。
• 自然な解空間における非線形性と乗法的ノイズの相互作用によって標準的固定点法が破綻する問題を克服すること。
• 制限された非臨界定常問題からの極限手続きを用いて解を構成し、正則性の除去を可能にする一様なバインディングを保証すること。
• パスごとの質量保存および初期データの摂動に対する解の安定性を証明すること。
• 伊藤＝ストラトニッチ補正項と滑らかなノイズを伴う、決定論的質量臨界定常理論を確率的設定に拡張すること。

提案手法

• 解の $\mathcal{X}_2$ ノルムに基づく滑らかなカットオフ関数 $\theta_m$ を用いて、SNLS方程式の制限された非臨界定常版の解を構成する。
• 分散およびストリカルツ不等式を含む事前推定を適用し、$\rho > 5$ に対して $L^\rho(\Omega; \mathcal{X}(0,T))$ 内で制限された解に一様バインディングを導出する。
• バーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンディーの不等式および確率積分理論を用いて、ドゥハメル表現における伊藤確率積分項を制御する。
• この空間内でのコーシー列であることを示すことにより、制限された解 $u_m$ が $L^\rho(\Omega; \mathcal{X}(0,T))$ 内で極限 $u$ に収束することを証明する。
• 劣微分収束およびストリカルツ推定を用いて、極限 $u$ が伊藤形式のドゥハメル公式を満たし、伊藤＝ストラトニッチ補正項 $F_\Phi u$ を含むことを確立する。
• 非臨界定常問題の安定性推定および $L^\rho$ ノルム内での収束を用いて、初期データに対する連続的依存性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズと非線形性の相互作用によって標準的固定点法が失敗するにもかかわらず、$L^2$ 正則性における $\mathbb{R}$ 上の質量臨界定常SNLSに対してグローバルな適切性を確立できるか？
• RQ2 ノイズと非線形性が決定論的手法の直接適用を不可能にする場合、臨界定常SNLS方程式の解をどのように構成できるか？
• RQ3 SNLSの解はパスごとに $L^2$ ノルムを保存するか？ また、伊藤＝ストラトニッチ補正項によってもその保存性は保たれるか？
• RQ4 制限された非臨界定常解に一様バインディングを導出し、極限において制限を除去できるか？
• RQ5 初期データの $L^2$ 意味での小さな摂動に対して、解は安定するか？ また、その安定性は定量的に表現できるか？

主な発見

• 任意の $L^2$ 初期データに対して、$L^\infty(\Omega; L^2(\mathbb{R}))$ 現象における質量臨界定常SNLSに対する解 $u$ のグローバル存在および一意性が確立される。
• 解は伊藤形式のドゥハメル公式を満たし、補正項 $F_\Phi u$ を含む。また、任意の $T>0$ および $\rho_0 > 5$ に対して $L^{\rho_0}(\Omega; \mathcal{X}(0,T))$ に属し、$T$、$\rho_0$、および $\|u_0\|_{L^\infty(\Omega; L^2)}$ のみに依存する一様バインディングを持つ。
• パスごとの質量保存が成立する：すべての $t \in [0,T]$ に対して、ほとんど確実に $\|u(t)\|_{L^2} = \|u_0\|_{L^2}$ が成り立つ。
• 初期データの摂動に対して解は安定である：任意の $M>0$ および $\delta>0$ に対して、$\|u_0 - v_0\|_{L^\infty(\Omega; L^2)} < \kappa$ ならば $\|u - v\|_{L^{\rho_0}(\Omega; \mathcal{X}(0,T))} < \delta$ が成り立ち、$\kappa$ は $M$、$\delta$、$T$、$\rho_0$ のみに依存する。
• 制限された解 $u_m$ の極限は $L^{\rho_0}(\Omega; \mathcal{X}(0,T))$ 内に存在し、ドゥハメル公式の意味で完全なSNLS方程式を満たす。
• 構成は一様バインディングおよび $L^\rho$ ノルム内での収束に依存し、主要な推定 $\|u_m - u_{m'}\|_{L^{\rho_0}(\Omega; \mathcal{X}(0,1))} < \delta$（$m, m'$ が十分に大きい場合）により、コーシー収束が保証される。