[論文レビュー] Global well-posedness of the 2D nonhomogeneous incompressible nematic liquid crystal flows with vacuum

Qiao Liu, Shengquan Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、初期密度および方位勾配が無限遠で十分に速く減少し、初期方位が幾何的制約を満たす条件下で、$\mathbb{R}^2$ 上の真空を伴う2次元非一様非圧縮性ネマチック液晶流れに対して、強い解の全球的存在および一意性を確立する。主な結果は、初期データが任意に大きく、密度が消えたりコンパクトな台を持つ場合でも、解が時間全域で存在することである。

ABSTRACT

This paper concerns the Cauchy problem of the two-dimensional (2D) nonhomogeneous incompressible nematic liquid crystal flows on the whole space $\mathbb{R}^{2}$ with vacuum as far field density. It is proved that the 2D nonhomogeneous incompressible nematic liquid crystal flows admits a unique global strong solution provided the initial data density and the gradient of orientation decay not too slow at infinity, and the initial orientation satisfies a geometric condition (see \eqref{eq1.3}). In particular, the initial data can be arbitrarily large and the initial density may contain vacuum states and even have compact support. As a byproduct, the large time behavior of the solution is also obtained.

研究の動機と目的

• 2次元非一様非圧縮性ネマチック液晶流れの真空を伴う$\mathbb{R}^2$ 上における強い解の全球的存在および一意性を確立すること。
• 初期データに最小限の減少仮定をおく場合の解の長時間挙動を分析すること。
• 爆発を防ぐための一様な事前推定を証明することで、局所的強い解を全球的解に拡張すること。
• 流体のナビエ–ストークス方程式と方位場の調和写像熱方程式との結合に起因する数学的困難に対処すること。
• 初期データが任意の大きさで、真空状態（特に密度がコンパクトに台を持つ場合）を許容するが、適切な減少および幾何的条件のもとで、解の全球的存在を保証すること。

提案手法

• 真空の存在下でも解の成長を制御するため、エネルギー推定および重み付き$L^p$ノルムを用いる。
• 高階微分を含む速度場および方位場の境界を、ガリャルド–ニレングラートおよびホルダーの不等式を用いて評価する。
• グローバル推定を閉じ、局所解を全球的解に拡張するために、グローバル不等式を適用する。
• 正則性を保証し特異性を防ぐために、初期方位場$d_0$に幾何的条件を課す。
• 密度および速度が時間に関して$L^1 \cap H^1 \cap W^{1,q}$値をとることの連続性を用いて、任意の有限時刻を超えた解の拡張を正当化する。
• 簡略化された2次元へのエリクセン–レジー・モデルの構造に依存し、粘性、弾性、緩和パラメータをすべて1に設定して単純化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度が無限遠でゆっくり減少し、真空を含む場合でも、2次元非一様非圧縮性ネマチック液晶流れの強い解が時間全域で存在可能か？
• RQ2 特に密度の減少および方位場に関する初期データの条件は、強い解の全球的存在を保証するためにどのようなものか？
• RQ3 解の長時間挙動は、初期データの減少性および正則性にどのように依存するか？
• RQ4 初期データが大きく、密度がコンパクトに台を持つ場合でも、解は任意の有限時刻を超えて拡張可能か？
• RQ5 初期方位場における幾何的条件が、解の爆発を防ぐ役割を果たすメカニズムは何か？

主な発見

• 初期密度および方位勾配が無限遠であまりに遅く減少しないという仮定のもとで、系は$\mathbb{R}^2 \times (0,\infty)$上に一意な全球的強い解を有する。
• 初期データのノルムは任意に大きくてもよく、初期密度は消えたりコンパクトに台を持つことができる。
• 解は時間に一様な事前推定を満たしており、これは局所解を全球的解に拡張するのに十分である。
• 解の長時間減衰率が確立され、速度および方位勾配が時間とともに減衰することが示された。
• $d_0$に関する幾何的条件が満たされていれば、真空が存在しても解は常に正則性を保つ。
• 非線形的結合を制御するため、重み付きエネルギー推定と補間不等式の繊細なバランスに依存した証明がなされた。