[論文レビュー] Globalization of the partial isometries of metric spaces and local approximation of the group of isometries of the Urysohn space

A. M. Vershik|ArXiv.org|Mar 30, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ウリソン普遍距離空間の2つの基本的性質の同値性を確立する。すなわち、局所有限な等長群の稠密性（定理A）と、部分等長写像のグローバライゼーション（定理G）の同値性である。本稿は、定理Gの構成的証明を提示する——有限距離空間の任意の部分等長写像を、より大きな有限距離空間における全等長写像に拡張可能であることを示す——「ビリヤード補題」と呼ばれる新規な手法を用いて、ウリソン空間の均一性を強化し、シフト不変な普遍的距離行列の新たな構成法を可能にする。

ABSTRACT

We prove the equivalence of the two important facts about finite metric spaces and universal Urysohn metric spaces $\Bbb U$, namely theorem A and theorem B below: Theorem A (Approximation): The group of isometry $ISO(\Bbb U)$ contains everywhere dense locally finite subgroup; Theorem G(Globalization): For each finite metric space $F$ there exists another finite metric space $\bar F$ and isometric imbedding $j$ of $F$ to $\bar F$ such that isometry $j$ induces the imbedding of the group monomorphism of the group of isometries of the space $F$ to the group of isometries of space $\bar F$ and each partial isometry of $F$ can be extended up to global isometry in $\bar F$. The fact that theorem $G$, is true was announced in 2005 by author without proof, and was proved by S.Solecki in \cite{Sol} (see also \cite{P,P1}) based on the previous complicate results of other authors. The theorem is generalization of the Hrushevski's theorem about the globalization of the partial isomorphisms of finite graphs. We intend to give a constructive proof in the same spirit for metric spaces elsewhere. We also give the strengthening of homogeneity of Urysohn space and in the last paragraph we gave a short survey of the various constructions of Urysohn space including the new proof of the construction of shift invariant universal distance matrix from \cite{CV}.

研究の動機と目的

• ウリソン空間の等長群の有限近似と、有限距離空間における部分等長写像のグローバライゼーションの間の同値性を確立すること。
• 2005年に発表されたが未証明であった定理Gの構成的証明——有限距離空間の部分等長写像を、より大きな有限距離空間における全等長写像に拡張可能である——を提供すること。
• ウリソン空間が不変距離を伴う非同型な単生成群構造を非可算個もつことにより、その均一性を強化すること。
• 有限次元距離行列における許容ベクトルに対するビリヤード補題を用いて、シフト不変な普遍的距離行列の新たな明確な構成法を提示すること。

提案手法

• 有限距離行列に対する「許容ベクトル」の概念を導入する。これは、ベクトル成分の差と和を含む距離不等式によって定義される。
• 任意の2つの許容ベクトルを、中間ベクトルの列を経由して接続する「ビリヤード補題」を構築する。この過程で、繰り返し列を拡張する際もトーペリッツ構造を保持する。
• ビリヤード補題を用いて、中間の「ビリヤード断片」を介して許容ベクトルを逐次埋め込み、すべての許容ベクトルを含む普遍的トーペリッツ距離行列を構成する。
• この構成法を応用し、シフト不変距離行列を用いて、ウリソン空間上に普遍的な不変距離が存在することを証明する。
• 部分等長写像の逆半群構造と全等長写像の群構造を活用して、グローバライゼーション過程を分析する。
• ウリソン空間の普遍性と均一性を根拠に、任意の有限距離空間が、部分等長写像が全等長写像に拡張可能なより大きな空間に等長的に埋め込まれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限距離空間の部分等長写像は、より大きな有限距離空間における全等長写像に拡張可能か？
• RQ2 ウリソン空間の等長群における局所有限部分群の稠密性と、部分等長写像のグローバライゼーションの間にはどのような関係があるか？
• RQ3 有限次元許容ベクトルを用いて、ウリソン空間のための普遍的シフト不変距離行列をどのように構成できるか？
• RQ4 ウリソン空間が、ZおよびRを基底群として持つ非同型な不変距離付き単生成群構造を非可算個もつために必要な構造的性質は何か？

主な発見

• ビリヤード補題を用いて、定理G（部分等長写像のグローバライゼーション）が構成的に証明され、2005年に発表されたが未解決であった主張が解決された。
• 本稿は、ウリソン空間の文脈において、定理A（等長群の有限近似）と定理G（部分等長写像のグローバライゼーション）の同値性を確立した。
• 許容ベクトルを繰り返し拡張する際、トーペリッツ条件を保持するビリヤード断片を介して、明確な方法で普遍的シフト不変距離行列を構成した。
• ウリソン空間は、不変距離を伴う非可算個の非同型な単生成群構造をもつ。これはZおよびRを基底群として持つ場合に共に成立する。
• N上の距離の集合のうち、その完備化がウリソン空間に等長写像として一致するものは、弱位相においてGδ集合として稠密である。
• ビリヤード補題は、有限距離行列内の任意の2つの許容ベクトルを、座標がずれた中間ベクトルの列を経由して接続する体系的な方法を提供し、距離の整合性を保証する。