[論文レビュー] Globalizations for partial (co)actions on coalgebras

Felipe Castro, Glauber Rodrigues de Quadros|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、余代数上の部分的（余）作用のグローバライゼーションを導入し、任意の部分的モジュール余代数が標準的グローバライゼーションを備えた自然な構成によりグローバライズ可能であることを証明する。部分的余モジュール余代数に関しては、双対ホップ代数の有理条件のもとでグローバライズ能力が確立され、既知のモジュール代数からの結果を余代数的設定へと拡張し、明示的な双対性および整合性の結果が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the notion of globalization for partial module coalgebra and for partial comodule coalgebra. We show that every partial module coalgebra is globalizable exhibiting a standard globalization. We also show the existence of globalization for a partial comodule coalgebra, provided a certain rationality condition. Moreover, we show a relationship between the globalization for the (co)module coalgebra and the usual globalization for the (co)module algebra.

研究の動機と目的

• 部分的モジュール余代数および部分的余モジュール余代数のグローバライゼーションを定義・研究し、部分的作用の理論を余代数的文脈へと拡張すること。
• 余代数上の部分的（余）作用と、それらの双対となる代数上の対応する作用との間の対応関係を確立し、モジュール代数からの既知の結果を一般化すること。
• 任意の部分的モジュール余代数に対して標準的グローバライゼーションを構成し、部分的作用を含む完全な作用の存在を保証すること。
• 双対ホップ代数上の有理モジュール条件を満たす場合に限り、部分的余モジュール余代数のグローバライズ能力を証明すること。
• （余）モジュール余代数のグローバライゼーションを、（余）モジュール代数の古典的グローバライゼーションと関連づけ、構造的双対性を保つこと。

提案手法

• 特定の条件を満たす余乗法的射影を用いて、部分的モジュール余代数のグローバライゼーションの概念を導入し、代数的状況への一般化を図る。
• 部分的モジュール余代数の標準的グローバライゼーションを $ C times H $ として構成し、余代数構造と部分的作用を拡張する余作用を備えること。
• 部分的作用と類似した適合性条件を満たす余乗法的射影を用いて、余代数上での誘導された部分的余作用を定義すること。
• 有限次元または密度の仮定のもとで、双対ホップ代数 $ H^0 $ を用いて、部分的モジュール余代数と部分的余モジュール余代数の間の双対性を確立すること。
• $ C imes H^0 $ をグローバライジング対象として構成し、$ C imes H^0 $ が有理的 $ H^0 $-モジュールであり、$ H^0 $ が点を分離するという仮定のもとで、部分的余モジュール余代数のグローバライズ能力を証明すること。
• スウィードラーの記法と $ H^0 $ による $ C imes H^0 $ 上の作用を用いて、グローバライゼーションの公理（余作用の適合性および生成条件など）を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の部分的モジュール余代数は、グローバライゼーション構成により完全なモジュール余代数に埋め込めるか？
• RQ2 部分的余モジュール余代数がグローバライズ可能となる条件は何か？また、これは双対ホップ代数とどのように関係するか？
• RQ3 部分的モジュールおよび余モジュール余代数におけるグローバライゼーションの概念は、部分的モジュール代数理論におけるそれらとどのように関係するか？
• RQ4 $ H^0 $ の有理的性および点を分離する性質が、部分的余モジュール余代数のグローバライズ能力を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 部分的余モジュール余代数のグローバライゼーションに対して、標準的かつ普遍的な構成が存在するか？また、これは部分的モジュール余代数の標準的グローバライゼーションとどのように比較できるか？

主な発見

• 任意の部分的モジュール余代数は、$ C times H $ として構成される標準的グローバライゼーションを備え、これは元の部分的作用を含む完全な $ H $-モジュール余代数である。
• 部分的余モジュール余代数に関しては、$ C imes H^0 $ が有理的 $ H^0 $-モジュールであり、$ H^0 $ が点を分離する場合にグローバライズ能力が達成され、グローバライジング余作用の存在が保証される。
• 部分的余モジュール余代数の標準的グローバライゼーションは $ C imes H^0 $ で与えられ、適切に定義された余作用と、必要な公理を満たす余乗法的射影を備える。
• 部分的余モジュール余代数のグローバライゼーションの構成は、モジュールと余モジュール構造の双対性と整合的であり、代数的状況からの既知の結果を余代数的状況へと拡張する。
• 本稿では、部分的モジュール余代数のグローバライゼーションと部分的モジュール代数のグローバライゼーションとの間の直接的な対応関係を確立し、構造的および圏論的性質を保つ。
• 有限次元の場合、$ H^0 = H^* $ であり、$ H^* $ は常に点を分離するため、有限次元ホップ代数では、標準的グローバライゼーション $ C imes H^* $ が条件に依存せずに常に存在する。