[論文レビュー] Partial Hopf actions, partial invariants and a Morita context

Marcelo Muniz, Eliezer Batista|ArXiv.org|Jan 8, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、ユニタリな代数 $A$ に有限次元ホップ代数 $H$ が部分的に作用する場合に、部分的不変量 $A^{\mathfrak{H}}$ と部分スモーズ積 $\mathfrak{A\#H}$ の間のモラータ・コンテキストを確立する。これはホップ代数における古典的モラータ理論を部分的設定に一般化し、標準的写像の全射性と非ゼロの積分の存在を仮定する下で、モラータ・コンテキストが厳密であることと、拡大 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ がホップ＝ガロア拡大であることの同値性を示している。

ABSTRACT

Partial actions of Hopf algebras can be considered as a generalization of partial actions of groups on algebras. Among important properties of partial Hopf actions, it is possible to assure the existence of enveloping actions. This allows to extend several results from the theory of partial group actions to the Hopf algebraic setting. In this article, we explore some properties of the fixed point subalgebra with relations to a partial action of a Hopf algebra. We also construct, for partial actions of finite dimensional Hopf algebras a Morita context relating the fixed point subalgebra and the partial smash product. This is a generalization of a well known result in the theory of Hopf algebras for the case of partial actions. Finally, we study Hopf-Galois extensions and reobtain some classical results in the partial case.

研究の動機と目的

• ホップ代数における古典的モラータ理論を部分的ホップ作用の設定に一般化すること。
• 有限次元ホップ代数に対して、部分的不変量 $A^{\mathfrak{H}}$ と部分スモーズ積 $\mathfrak{A\#H}$ の間のモラータ・コンテキストを構成すること。
• ホップ＝ガロア性を用いて、このモラータ・コンテキストがいつ厳密であるかを特徴づけること。
• 部分作用の枠組みの中で、ホップ＝ガロア拡大に関する古典的結果を再構成すること。

提案手法

• 部分的 $H$-作用に関して不変な元からなる部分代数 $A^{\mathfrak{H}}$ を定義する。
• $A$ が $A^{\mathfrak{H}}$ と $\mathfrak{A\#H}$ の両方の両側加群としての構造を持つことを利用し、ペアリング写像 $[\cdot,\cdot]$ と $\langle\cdot,\cdot\rangle$ を用いてモラータ・コンテキストを構成する。
• 包摂作用の存在を用いて、部分スモーズ積を完全スモーズ積 $B\#H$ と関連づけ、結果の移行を可能にする。
• $H$ の有限次元性と非ゼロの積分 $t$ の存在を用いて、$\varphi \mapsto t \leftharpoonup \varphi$ を通じて $\theta: H^* \to H$ の同型を定義する。
• 標準的写像 $\beta: A \otimes_{A^{\mathfrak{H}}} A \to \mathbf{A} \otimes H^*$ を $\beta(a \otimes b) = ab^{[0]} \otimes b^{[1]}$ で定義し、全射性の条件を関連付ける。
• 写像 $\beta$ の全射性、ペアリング $[\cdot,\cdot]$ の全射性、および拡大 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ のホップ＝ガロア性の間の同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数 $A$ に部分的 $H$-作用が与えられたとき、$A^{\mathfrak{H}}$ と $\mathbf{A\#H}$ の間のモラータ・コンテキストがいつ厳密になるか。
• RQ2 標準的写像 $\beta$ の全射性は、拡大 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ のホップ＝ガロア性とどのように関係するか。
• RQ3 部分的ホップ作用の枠組みの中で、ホップ＝ガロア拡大に関する古典的結果を再び得ることは可能か。
• RQ4 $H$ の有限次元性と非ゼロの積分 $t$ の存在は、モラータ・コンテキストの構成において果たす役割は何か。
• RQ5 包摂作用を通じて、部分スモーズ積 $\mathbf{A\#H}$ と完全スモーズ積 $B\#H$ はどのように関係するか。

主な発見

• 代数 $A^{\mathfrak{H}}$ と $\mathbf{A\#H}$ の間のモラータ・コンテキストは、拡大 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ が部分的 $H^*$-ガロア拡大であることと同値に厳密である。
• $\beta: A \otimes_{A^{\mathfrak{H}}} A \to \mathbf{A} \otimes H^*$ の標準的写像の全射性は、ペアリング写像 $[\cdot,\cdot]: A \otimes_{A^{\mathfrak{H}}} A \to \mathbf{A\#H}$ の全射性と同値である。
• 写像 $[\cdot,\cdot]$ は同型 $\theta: H^* \to H$ を通じて $\beta$ と関連づけられ、$[a,b] = (I \otimes \theta)(\beta(a \otimes b))$ が成り立つ。
• 部分的不変量 $A^{\mathfrak{H}}$ は、自己準同型環 $\mbox{End}({}_{\mathbf{A\#H}}A)^{op}$ の逆代数と同型である。
• $A$ が $A^{\mathfrak{H}}$ に関して有限生成かつ射影的右 $A^{\mathfrak{H}}$-加群であれば、拡大 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ がホップ＝ガロア拡大であることと、$\beta$ が全射であることは同値である。
• 非ゼロの積分 $t$ の存在により、同型 $\theta$ の構成が可能となり、標準的写像 $\beta$ とペアリング $[\cdot,\cdot]$ の関係を確立する上で不可欠である。