[論文レビュー] Good measures on locally compact Cantor sets

Olena Karpel|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非コンパactで局所コンパクトなカントール集合上の全で非アトミックなボレル測度を、'良い'測度とコンパクト開値集合 $ S(\mu) $ の概念を導入することで、ホメオモルフィズムの下で分類する。非コンパクトな場合に、コンパクトなカントール集合への結果を拡張し、ホメオモルフィズム類の完全不変量を確立し、所望の値集合と欠損集合を持つ例を構成する。

ABSTRACT

We study the set M(X) of full non-atomic Borel (finite or infinite) measures on a non-compact locally compact Cantor set X. For an infinite measure $μ$ in M(X), the set $\mathfrak{M}_μ= \{x \in X : {for any compact open set} U i x {we have} μ(U) = \infty \}$ is called defective. We call $μ$ non-defective if $μ(\mathfrak{M}_μ) = 0$. The class $M^0(X) \subset M(X)$ consists of probability measures and infinite non-defective measures. We classify measures $μ$ from $M^0(X)$ with respect to a homeomorphism. The notions of goodness and compact open values set $S(μ)$ are defined. A criterion when two good measures from $M^0(X)$ are homeomorphic is given. For any group-like $D \subset [0,1)$ we find a good probability measure $μ$ on X such that $S(μ) = D$. For any group-like $D \subset [0,\infty)$ and any locally compact, zero-dimensional, metric space A we find a good non-defective measure $μ$ on X such that $S(μ) = D$ and $\mathfrak{M}_μ$ is homeomorphic to A. We consider compactifications cX of X and give a criterion when a good measure $μ\in M^0(X)$ can be extended to a good measure on cX.

研究の動機と目的

• コンパクトなカントール集合から非コンパクトな局所コンパクトカントール集合への良い測度の分類を拡張すること。
• 非欠損な無限測度を定義し、欠損集合 $ \mathfrak{M}_{\mu} $ を主要な不変量として導入すること。
• 非コンパクトな局所コンパクトカントール集合上の良い測度のホメオモルフィズム類の完全不変量を確立すること。
• 任意の群的部分集合が $[0,1)$ および $[0,\infty)$ に含まれる場合を含め、所望のコンパクト開値集合 $ S(\mu) $ を持つ測度を構成すること。
• 特にカントール空間のコンパクト化において、良い測度の挙動を調査すること。

提案手法

• 測度 $ \mu \in M(X) $ を、任意のコンパクト開近傍が無限大の $ \mu $-測度を持つ点の集合 $ \mathfrak{M}_{\mu} $ に対して $ \mu(\mathfrak{M}_{\mu}) = 0 $ であるとき、非欠損と定義する。
• コンパクト開部分集合のすべての有限 $ \mu $-測度の集合として、コンパクト開値集合 $ S(\mu) $ を導入する。
• 任意のコスロープン集合 $ U, V $ に対して $ \mu(U) < \mu(V) $ ならば、$ \mu(W) = \mu(U) $ を満たす $ V $ の部分集合であるコスロープン集合 $ W \subset V $ が存在するとき、測度を '良い' と定義する。
• 可算なコンパクト開集合の基底の構造を用いて、$[0,1)$ および $[0,\infty)$ の群的部分集合を活用し、所望の $ S(\mu) $ を持つ測度を構成する。
• $ (C,F) $-構成法および $ p $-進測度を用いて、任意の良い $ S(\mu) $ および $ \mathfrak{M}_{\mu} $ が、与えられたゼロ次元で局所コンパクトな距離空間 $ A $ にホメオモルフィックであるような例を構成する。
• 空間のコンパクト化 $ cX $ を分析し、$ cX $ がカントール集合であるようなものに制限し、$ X $ 上の良い測度が $ cX $ 上の良い測度に拡張される条件を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトで局所コンパクトなカントール集合上の2つの良い測度がホメオモルフィックであるのはいつか？
• RQ2 良い測度が空間のコンパクト化上に良い測度として拡張可能となる必要十分条件は何か？
• RQ3 与えられた群的部分集合 $ D \subset [0,1) $ に対して、$ S(\mu) = D $ を満たす良い確率測度 $ \mu $ が存在するか？
• RQ4 与えられた群的部分集合 $ D \subset [0,\infty) $ および任意のゼロ次元で局所コンパクトな距離空間 $ A $ に対して、$ S(\mu) = D $ かつ $ \mathfrak{M}_{\mu} \cong A $ を満たす良い非欠損測度 $ \mu $ が存在するか？
• RQ5 コンパクト化の下で、コンパクト開値集合 $ S(\mu) $ はどのように変化するのか？また、良い性質はいつ保持されるか？

主な発見

• 非コンパクトで局所コンパクトなカントール集合上の2つの良い測度は、かつてそのコンパクト開値集合 $ S(\mu) $ が等しいときかつそのときに限り、ホメオモルフィックである。
• 任意の群的部分集合 $ D \subset [0,1) $ に対して、$ S(\mu) = D $ を満たす良い確率測度 $ \mu $ が $ X $ 上に存在する。
• 任意の群的部分集合 $ D \subset [0,\infty) $ および任意の局所コンパクトでゼロ次元の距離空間 $ A $ に対して、$ S(\mu) = D $ かつ $ \mathfrak{M}_{\mu} $ が $ A $ にホメオモルフィックであるような良い非欠損測度 $ \mu $ が $ X $ 上に存在する。
• $ p $-進数体 $ \mathbb{Q}_p $ 上のハール測度は、$ S(\mu) = \{ np^\gamma \mid n \in \mathbb{N}, \gamma \in \mathbb{Z} \} $ を満たす良い測度である。
• $ (C,F) $-構成法による非コンパクトで局所コンパクトなカントール集合上の不変測度は良いものであり、$ S(\mu) = \{ \frac{a}{|C_1|\cdots|C_n|} \mid a,n \in \mathbb{N} \} \cap [0, \mu(X)) $ を満たす。
• 定常的ブラッティリ図のパス空間の生成開稠密部分集合上に、良いエルゴード不変測度が存在し、そのすべてのコンパクト化において非良い測度となる。