[論文レビュー] Goodness of fit of logistic models for random graphs

Pierre Latouche, Stéphane Robin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2015

Complex Network Analysis Techniques参考文献 43被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、変分ベイズ推論を用いて柔軟な残差グラフン項を統合することで、二値ネットワークにおけるロジスティック回帰モデルのベイズ的適合度枠組みを提案する。この手法は、共変数がネットワークトポロジーを完全に説明しているかどうかを評価し、残差グラフンが定数であるという事後確率を推定することで行う。実世界のネットワークにおいて、共変数によって説明されない構造を検出する応用例が示されている。

ABSTRACT

Logistic regression is a natural and simple tool to understand how covariates contribute to explain the topology of a binary network. Once the model fitted, the practitioner is interested in the goodness-of-fit of the regression in order to check if the covariates are sufficient to explain the whole topology of the network and, if they are not, to analyze the residual structure. To address this problem, we introduce a generic model that combines logistic regression with a network-oriented residual term. This residual term takes the form of the graphon function of a W-graph. Using a variational Bayes framework, we infer the residual graphon by averaging over a series of blockwise constant functions. This approach allows us to define a generic goodness-of-fit criterion, which corresponds to the posterior probability for the residual graphon to be constant. Experiments on toy data are carried out to assess the accuracy of the procedure. Several networks from social sciences and ecology are studied to illustrate the proposed methodology.

研究の動機と目的

• 二値ネットワーク解析におけるロジスティック回帰モデルに対する形式的な適合度評価の欠如に対処すること。
• 観察された共変数によって説明されない残差ネットワーク構造を検出すること。
• ネットワークトポロジーにおける説明されない不均一性の視覚的・定量的測定を提供すること。
• ロジスティック回帰とW-グラフを組み合わせたハイブリッドモデルのスケーラブルなベイズ推論手順を開発すること。
• 実務家が共変数がネットワーク形成を十分に説明しているかどうかを評価できるようにすること。

提案手法

• 共変数によって説明されないネットワーク構造を捉えるために、ロジスティック回帰とW-グラフ残差項を組み合わせたハイブリッドモデルを提案する。
• ブロックごとに定数となるグラフン関数の事後分布を近似するため、変分ベイズEM（VBEM）フレームワークを用いる。
• 残差グラフンが定数（すなわち、残差構造なし）であるという事後確率を、適合度基準として推定する。
• 2段階の変分近似を適用する：1つは潜在的ブロック構造の近似、もう1つは周辺尤度のためのテイラー展開を用いた近似。
• W-グラフの有限近似としてスチューデント・ブロック・モデル（SBM）を用い、ブロック数を増やすことで残差の複雑さを探索する。
• 推定されたグラフン関数 $ g ullet ilde{ heta} $ を用いて、共変数を考慮した後の残差ネットワークパターンを可視化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロジスティック回帰モデルにおける共変数が、二値ネットワークのトポロジーを完全に説明しているかどうかを形式的に検証できるか？
• RQ2 観察された共変数に条件付けた後も、どの程度の残差ネットワーク構造が残存するか？
• RQ3 残差ネットワーク構造がゼロ（すなわち、定数グラフン）であるという事後確率をどのように定量的に測定できるか？
• RQ4 柔軟な非パラメトリックな残差モデルを用いて、実世界のネットワークにおける説明されない不均一性を視覚化・解釈できるか？
• RQ5 共変数の組み込みが、残差ネットワーク構造の検出可能性にどのように影響するか？

主な発見

• ブログネットワークでは、事後確率 $ ilde{p}(H_0|Y) $ が極めて小さく（例：3.60e-172）あり、残差グラフンが定数である帰無仮説に強い反証の証拠が得られた。
• 空手部ネットワークでは、$ ilde{p}(H_0|Y) = 3.38 \times 10^{-2} $ であり、共変数だけではネットワーク構造を十分に説明できないことが示唆された。
• フィレンツェの結婚および商業ネットワークでは、それぞれ $ ilde{p}(H_0|Y) = 0.995 $ および $ 0.991 $ であり、共変数がネットワークトポロジーを完全に説明していることが示された。
• フォックスディクソン高校およびCKMネットワークでは、$ ilde{p}(H_0|Y) = 1 $ であり、共変数を超えた残差構造は存在しないことが確認された。
• グラフン関数 $ g ullet ilde{ heta} $ の可視化により、共変数を追加することで残差グラフンが単純化（例：対角の隆起が減少）することが示されたが、ブログ、木、AddHealthネットワークでは非定数パターンが依然として残存していた。
• この手法は、共変数が不十分な生態的および社会的ネットワーク（例：真菌寄生虫相互作用を含む木ネットワーク）において、残差構造を効果的に検出できた。