[論文レビュー] Goodwillie calculus and Mackey functors

Saul Glasman|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限スペクトルから安定∞-圏Eへのn-加法的関手の∞-圏と、大きさがn以下の有限集合の間の全射を伴う有限集合の圏上のE値Mackey関手の圏との間の同値性を確立する。主な結果は、等変安定ホモトピー論における軌道圏に類似したインデックス圏を用いた多項式関手の新しい分類であり、関手計算と等変ホモトピー論の間の深い構造的類似性を明らかにする。

ABSTRACT

We show that the category of $n$-excisive functors from the $\infty$-category of spectra to a target stable $\infty$-category $\mathbf{E}$ is equivalent to the category of $\mathbf{E}$-valued Mackey functors on an indexing category built from finite sets and surjections. This new classification of polynomial functors arises from an investigation of the structure present on cross effects. The path to this result involves a pair of surprising extension theorems for polynomial functors and a discussion of some interesting topics in semiadditive $\infty$- category theory, including a formula for the free semiadditive $\infty$-category on an $\infty$-category.

研究の動機と目的

• Mackey関手を用いて、安定∞-圏的設定下でのn-加法的関手の新しい分類を確立すること。
• この分類のインデックス圏が、等変ホモトピー論における軌道圏に類似した、大きさ≤nの有限集合と全射の圏であることを特定すること。
• n-加法的関手のクロス効果が、関連するMackey関手が有限集合上でとる値と正確に一致することを示すこと。
• n-加法的関手に対して、等変安定ホモトピー論におけるノルム構成と類似したノルム構成を導入することで、関手計算と等変ホモトピー論の類似性を拡張すること。
• 6つの明確に定義された、独立して検証可能な∞-圏の同値性の列を通じて、同値性のモジュラーかつ関手的構成を提供すること。

提案手法

• 主な同値性は、6つの関手の合成として構成され、それぞれが独立に同値であることが示されている。
• 最初の関手 $\Xi^{\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq n}}$ は、Glasman (2015) の結果に基づき、大きさ≤nの集合に台を持つMackey関手に制限する。
• 2番目の関手 $\phi^*$ は、$\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq n}$ の有効アービット圏上のMackey関手と、その半加法的完備化上の加法的関手との関係を記述する。
• 3番目の関手 $\kappa^*$ は、有効アービット圏上の加法的関手と、完全なアービット圏上の加法的関手との関係を記述する。
• 4番目の関手 $R_n$ は、次数nの関手に制限する局在化の逆であり、左Kan拡張と加法的完備化を用いて構成される。
• 最後の2つの関手 $(\Im_n^*)^{-1}$ と $(\iota^*)^{-1}$ は、左Kan拡張と、連結被覆およびn-加法的化への前結合をそれぞれ含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限スペクトルから安定∞-圏$\u0395$へのn-加法的関手は、組合せ的インデックス圏上のMackey関手によって分類可能か？
• RQ2 関手計算と等変安定ホモトピー論の間には、特に軌道圏とノルム構成の観点から、構造的類似性が存在するか？
• RQ3 n-加法的関手のクロス効果と、その関連するMackey関手の値との正確な関係は何か？
• RQ4 n-加法的近似 $P_n(\Sigma^\infty \Omega^\infty)$ は、等変構成を用いてどのように記述できるか？
• RQ5 等変ホモトピー論におけるHill-Hopkins-Ravenelのノルムに類似した、n-加法的関手に対するノルム類似構成を定義可能か？

主な発見

• n-加法的関手の圏 $\text{Fun}^{n\text{-exc}}(\textbf{Sp}^\omega, \mathbf{E})$ は、大きさがn以下の有限集合と全射の圏 $\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq n}$ 上の$\mathbf{E}$-値Mackey関手の圏と同値である。
• n-加法的関手 $F$ に付随するMackey関手 $M_F$ の有限集合 $U$ における値は、球面スペクトルのコピーを用いた $F$ の $U$-添付クロス効果と同型である：$M_F(U) \simeq cr_U F(\mathbb{S}, \dots, \mathbb{S})$。
• 同値性は、6つの関手の合成として明示的に構成され、それぞれに既知の逆関手が存在し、逆関手は左Kan拡張と局在化手続きによって与えられる。
• ノルム構成 $\mathbf{Nm}_n(X)$ は、$X \in \mathbf{E}$ からn-加法的関手を構成するものであり、主な同値性の逆関手は $F_M(X) \simeq (\mathbf{Nm}_n(X) \otimes M)(\langle 1 \rangle)$ で与えられる。ここで $\otimes$ はDay畳み込みである。
• $n=2$ の場合、軌道圏 $\mathbf{O}_{C_2}$ は $\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq 2}$（空集合を除く）と同値であり、$\textbf{Sp}^{C_2} \simeq \mathbf{Mack}(\mathcal{F}_{\text{surj}}^{\leq 2}, \textbf{Sp})$ がノルムと整合する同値性が得られる。
• $n$-加法的近似 $P_n(\Sigma^\infty \Omega^\infty)$ は $\mathbf{Nm}_n(\mathbb{S})$ と同値であり、このノルムは対称モノイダル的であり、$\text{Fun}^{n\text{-exc}}(\textbf{Sp}, \textbf{Sp})$ 上のDay畳み込みに関して単位対象である。