[論文レビュー] Gopakumar-Vafa invariants and wall-crossing

Yukinobu Toda|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、任意の正則オイラー標数と安定性条件を備えたねじれ半安定な層のモジュライ空間上で、双曲的層の消失サイクルの perverse 層を構成することにより、Calabi-Yau 3-fold 上の Gopakumar-Vafa (GV) 不変量を一般化する。得られた不変量が安定性条件およびオイラー標数に依存しないことを証明し、フロップ変換公式を確立することで、GV 不変量が異なるモジュライ空間にわたって普遍的に定義可能であるという予想を支持する。

ABSTRACT

In this paper, we generalize a mathematical definition of Gopakumar-Vafa (GV) invariants on Calabi-Yau 3-folds introduced by Maulik and the author, using an analogue of BPS sheaves introduced by Davison-Meinhardt on the coarse moduli spaces of one dimensional twisted semistable sheaves with arbitrary holomorphic Euler characteristics. We show that our generalized GV invariants are independent of twisted stability conditions, and conjecture that they are also independent of holomorphic Euler characteristics, so that they define the same GV invariants. As an application, we will show the flop transformation formula of GV invariants.

研究の動機と目的

• 標準的なモジュライ空間 $M(\beta,1)$ を超えて、任意の正則オイラー標数 $m$ および安定性条件 $\sigma=B+i\omega$ を備えた Gopakumar-Vafa (GV) 不変量の数学的定義を拡張すること。
• チャーン類が $v=(\beta,m)$ である $\sigma$-半安定層の粗モジュライ空間 $M_\sigma(\beta,m)$ 上に、Davison-Meinhardt の BPS 層構成を一般化した消失サイクルの perverse 層を構成すること。
• 得られた GV 不変量が安定性条件 $\sigma$ および正則オイラー標数 $m$ の選択に依存しないことを証明し、GV 不変量の普遍的定義を予想すること。
• 壁越えにおける不変性を用いて、Calabi-Yau 3-fold におけるフロップ変換公式を確立すること。

提案手法

• チャーン類 $v=(\beta,m)$ を持つ $\sigma$-半安定層のモジュライスタック $\mathcal{M}_\sigma(v)$ に $d$-臨界構造を構成し、消失サイクルの perverse 層の定義を可能にする。
• $\mathcal{M}_\sigma(v)$ から粗モジュライ空間 $M_\sigma(v)$ への押し出しにより得られる消失サイクル層の押し出しの第一 perverse コホロロジーとして perverse 層 $\phi_{M_\sigma(v)}$ を定義する。
• サイクル $\gamma \in \mathop{\rm Chow}\nolimits_X(\beta)$ に制限した押し出し層のコホロロジーにおける $sl_2 \times sl_2$-作用の特性類により、不変量 $\Phi_\sigma(\gamma,m) \in \mathbb{Z}[y^{\pm 1}]$ を定義する。
• CY 傾きデータと導来 Darboux 定理を用いて、異なる安定性条件における perverse 層構成の適切な定義と不変性を保証する。
• モジュライスタック上に CY 傾きデータが存在することを用い、Calabi-Yau 3-fold が $X = \mathrm{Tot}_S(K_S)$ の形である場合に、$\Phi_\sigma(\gamma,m)$ が $\sigma$ および $m$ に依存しないことを証明する。
• 点に沿った吹き上げにおけるフロップ変換公式 $\Phi_X(\gamma,m) = \Phi_{X^\dagger}(h^*\gamma,m)$ を確立し、フロップにおける不変性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gopakumar-Vafa 不変量は、任意の正則オイラー標数 $m$ および安定性条件 $\sigma$ を備えたねじれ半安定層のモジュライ空間を用いて定義可能か？
• RQ2 一般化された GV 不変量 $\Phi_\sigma(\gamma,m)$ は安定性条件 $\sigma$ およびオイラー標数 $m$ の選択に依存しないか？
• RQ3 Calabi-Yau 3-fold の被約変換において、一般化された GV 不変量はフロップ変換公式を満たすか？
• RQ4 Davison-Meinhardt の BPS 層構成は、任意の $m$ および $\sigma$ を備えた Calabi-Yau 3-fold 上の層の設定に適応可能か？
• RQ5 すべてのこのような構成を異なるモジュライ空間にわたって統一する普遍的な GV 不変量の定義は存在するか？

主な発見

• Calabi-Yau 3-fold が $X = \mathrm{Tot}_S(K_S}$ の形である場合、一般化された GV 不変量 $\Phi_\sigma(\gamma,m)$ は安定性条件 $\sigma$ に依存しないことが示され、自然な不変量 $\Phi_X(\gamma,m)$ が得られる。
• サイクル $\gamma$ が原始的であるとき、$\Phi_X(\gamma,m)$ は正則オイラー標数 $m$ に依存しないことも示され、GV 不変量の普遍的定義が示唆される。
• 表面の吹き上げの全空間構成により得られる Calabi-Yau 3-fold に対して、フロップ変換公式 $\Phi_X(\gamma,m) = \Phi_{X^\dagger}(h^*\gamma,m)$ が成立する。
• $\mathcal{M}_\sigma(v)$ からの消失サイクルの押し出しとして得られる perverse 層 $\phi_{M_\sigma(v)}$ の構成は、[MT18] の $M(\beta,1)$-に基づく定義の強固な一般化を提供する。
• 特性類の公式 $\int_{\gamma} \Phi_{\sigma=i\omega}(\gamma,1)\, de = \sum_g n_{g,\beta} (y^{1/2} + y^{-1/2})^{2g}$ を用いて、元の GV 不変量 $n_{g,\beta}$ が回復されることを確認し、一貫性が裏付けられる。
• $X = \mathrm{Tot}_S(K_S)$ の場合、$\Phi_\sigma(\gamma,m)$ が $\sigma$ および $m$ に依存しないことは、予想 2.10 を仮定せず、条件なしに証明されている。