[論文レビュー] The integrality conjecture and the cohomology of preprojective stacks

Ben Davison|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、3-カルビ・ヤウ完成化のコhomological Donaldson–Thomas理論を用いて、前正則代数の表現のスタックにおけるBorel–Mooreホモロジーの純粋性を確立する。BPSホモロジーの純粋性を証明し、混合Hodgeモジュール値のBPSシーヴを構成することで、整数性定理、制限Kac多項式の正値性、ヒルベルトスキームおよびキャラクタースタックの臨界ホモロジーを計算する。

ABSTRACT

We study the Borel-Moore homology of stacks of representations of preprojective algebras $Π_Q$, via the study of the DT theory of the undeformed 3-Calabi-Yau completion $Π_Q[x]$. Via a result on the supports of the BPS sheaves for $Π_Q[x]$-mod, we prove purity of the BPS cohomology for the stack of $Π_Q[x]$-modules, and define BPS sheaves for stacks of $Π_Q$-modules. These are mixed Hodge modules on the coarse moduli space of $Π_Q$-modules that control the Borel-Moore homology and geometric representation theory associated to these stacks. We show that the hypercohomology of these objects is pure, and thus that the Borel-Moore homology of stacks of $Π_Q$-modules is also pure. We transport the cohomological wall-crossing and integrality theorems from DT theory to the category of $Π_Q$-modules. Among these and other applications, we use our results to prove positivity of a number of "restricted" Kac polynomials, determine the critical cohomology of $\mathrm{Hilb}_n(\mathbb{A}^3)$, and the Borel-Moore homology of genus one character stacks, as well as various applications to the cohomological Hall algebras associated to Borel-Moore homology of stacks of preprojective algebras, including the PBW theorem, and torsion-freeness.

研究の動機と目的

• コhomological Donaldson–Thomas理論における前正則代数の整数性予想を確立すること。
• BPSシーヴと3-カルビ・ヤウ完成化を用いて、Π_Q-加群のスタックにおけるBorel–Mooreホモロジーの純粋性を証明すること。
• Π_Q-加群の粗いモジュライ空間上の混合HodgeモジュールとしてBPSシーヴを定義し、それらを研究すること。
• DT理論から得られるコhomological wall-crossingおよび整数性定理を、Π_Q-加群の圏へと輸送すること。
• これらの結果を応用して、Π_n(Α^3)の臨界ホモロジーを計算し、コhomological Hall代数の捩れのなさとPBW定理を同定すること。

提案手法

• 前正則代数Π_Qの3-カルビ・ヤウ完成化Π_Q[x]を用い、コhomological DT理論を通じてBorel–Mooreホモロジーを研究する。
• Π_Q[x]-加群におけるBPSシーヴの台の解析を通じて、Π_Q[x]-加群のBPSホモロジーの純粋性を証明する。
• Π_Q-加群の粗いモジュライ空間上に混合HodgeモジュールとしてBPSシーヴを構成し、それらがBorel–Mooreホモロジーを制御することを保証する。
• DT理論から得られるコhomological wall-crossingおよび整数性定理をΠ_Q-加群の圏に適用する。
• 次元削減を用いて、3CY完成化を通じてΠ_Q-加群のホモロジーとΠ_Q[x]-加群のホモロジーを関連付ける。
• 等変ホモロジーとシャッフル代数構造を用いて、コhomological Hall代数における捩れのなさとPBW定理を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数性予想が予言するように、Π_Q-加群のスタックにおけるBorel–Mooreホモロジーは純粋であるか？
• RQ2 Π_Q-加群の粗いモジュライ空間上にBPSシーヴを混合Hodgeモジュールとして定義できるか？
• RQ3 Π_n(Α^3)の臨界ホモロジーは非臨界次数で消えるか？その構造はいかなるものか？
• RQ4 Π_Q-加群に付随するコhomological Hall代数は捩れがなく、PBW定理を満たすか？
• RQ5 Π_Q-加群の制限Kac多項式の係数は正値性を示すか？

主な発見

• 構成されたBPSシーヴのハイパーコホモロジーが純粋であることから、Π_Q-加群のスタックにおけるBorel–Mooreホモロジーは純粋である。
• Π_Q-加群のBPSシーヴは、粗いモジュライ空間上の混合Hodgeモジュールとして定義され、Borel–Mooreホモロジーを制御する。
• 3CY完成化に適用された純粋性および整数性定理を通じて、Π_n(Α^3)の臨界ホモロジーが計算される。
• Π_Q-加群の制限Kac多項式の係数が正値であることが示され、予想が裏付けられる。
• コhomological Hall代数τ_{Π_Q}は捩れがなく、自然な写像が一般には単射でないことが判明する。
• 純粋性およびwall-crossing技術を用いて、Π_Q-加群のコhomological Hall代数におけるPBW定理が成立する。