[論文レビュー] Gordon type Theorem for measure perturbation

Christian Seifert|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元シュレーディンガー作用素に対するゴードンの定理（固有値の不在）を、測度値ポテンシャルの状況に一般化する。『ゴードン測度』—局所的に有界な符号付き測度で、特定の漸近的意味で周期的測度によって近似可能なもの—の概念を導入することにより、作用素 $ H = -\Delta + \mu $ が埋め込まれた固有値や孤立固有値を持たないことを証明する。これは、$ L^1_{\text{loc}} $ ポテンシャルに関する古典的結果を、より特異な測度的設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

Generalizing the concept of Gordon potentials to measures we prove a version of Gordon's theorem for measures as potentials and show absence of eigenvalues for these one-dimensional Schrödinger operators.

研究の動機と目的

• $ L^1_{\text{loc}} $ ポテンシャルからより特異な測度値ポテンシャルへのゴードンの定理（固有値の不在）の拡張を図ること。
• 古典的ゴードンポテンシャルの概念を測度的設定に一般化するための測度のクラス—「ゴードン測度」—を定義し、特徴づけること。
• 形式法および近似技術を用いて、このような測度を用いたシュレーディンガー作用素 $ H = -\Delta + \mu $ の自己共役性およびスペクトル的性質を確立すること。
• 特異的で符号付きの局所的有限ボレル測度に対しても、固有値の不在がこの一般化のもとで保たれることを示すこと。

提案手法

• 作用素の形式有界性を保証するため、一様局所有界な符号付きボレル測度の概念を導入する。
• ゴードン測度を、一様局所有界で、周期的測度によって拡大区間上で全 Variation に関して近似可能な測度として定義する。
• ソボレフ埋蔵定理および $ L^2 $-ノルム推定を用いて、測度の負の部分の形式有界性を証明し、二次形式によるシュレーディンガー作用素の定義を可能にする。
• 補助作用素 $ T $ を用いた直接的作用素定義を確立し、形式に基づく作用素 $ H $ が $ T $ の制限であることを示す。
• 測度 $ \mu $ が周期的測度 $ \mu^m $ によって近似されるという極限的議論を適用し、区間 $ [-p_m, 2p_m] $ 上での解のノルムに関する一様推定を用いる。
• 背理法を用いる：もし $ L^2 $ 固有関数が存在すれば、その微分は無限遠で減衰するが、近似によって非減衰的振動が生じ、$ L^2 $-可積分性に矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゴードンの定理（固有値の不在）は、$ L^1_{\text{loc}} $ ポテンシャルからより特異で測度値ポテンシャルへの拡張が可能か？
• RQ2 符号付きボレル測度 $ \mu $ に対して、シュレーディンガー作用素 $ H = -\Delta + \mu $ が固有値を持たないための条件は何か？
• RQ3 測度摂動の文脈において、古典的ゴードンポテンシャルの概念を一般化する測度のクラスをどのように定義し、特徴づけられるか？
• RQ4 周期的測度による測度の近似（周期が発散する区間上で拡大する）は、スペクトルの埋め込みなしに果たす役割は何か？

主な発見

• ゴードン測度のクラスには、すべての一般化されたゴードンポテンシャルおよびすべての局所的に有界な周期的測度（例：$ \mu = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \delta_{n+1/2} $）が含まれる。
• 任意のゴードン測度 $ \mu $ に対して、形式法によって定義されたシュレーディンガー作用素 $ H = -\Delta + \mu $ は固有値を持たない。
• 証明は、任意の $ L^2 $ 固有関数が無限遠で $ |u(x)|^2 + |u'(x)|^2 $ に対して一様な下界を満たさねばならないという事実に依拠しており、これは $ L^2 $-可積分性に矛盾する。
• 近似条件 $ \lim_{m \to \infty} e^{Cp_m} |\mu - \mu^m|([-p_m, 2p_m]) = 0 $ により、$ H $ と $ H^m $（周期的 $ \mu^m $ を持つ）の解の振る舞いが大きな区間で区別できなくなる。
• 符号付きで特異な測度に対しても、一様局所有界かつ発散する周期を伴う近似条件を満たせば、結果は成り立つ。