[論文レビュー] Graded C*-algebras, graded K-theory, and twisted P-graph C*-algebras

Alex Kumjian, David Pask+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2017

Advanced Operator Algebra Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、カスパロフ理論を用いてC*-代数の階数付きK理論を計算するための枠組みを構築し、ピンスナーの6項完全系列の階数付き版と、Z-次数に対するピンスナー–ヴォイキュレツ系列を導入する。Z₂への関手と2次コサイクルを用いてねじれPグラフC*-代数を定義し、このような代数の階数付きテンソル積がPグラフのカルテジアン積に対応することを示し、Z₂-次数の下で行有限1グラフC*-代数の階数付きK理論を計算する。その結果、K₀^gr = Z₂² および K₁^gr = 0 が得られる。

ABSTRACT

We develop methods for computing graded K-theory of C*-algebras as defined in terms of Kasparov theory. We establish graded versions of Pimsner's six-term sequences for graded Hilbert bimodules whose left action is injective and by compacts, and a graded Pimsner-Voiculescu sequence. We introduce the notion of a twisted P-graph C*-algebra and establish connections with graded C*-algebras. Specifically, we show how a functor from a P-graph into the group of order two determines a grading of the associated C*-algebra. We apply our graded version of Pimsner's exact sequence to compute the graded K-theory of a graph C*-algebra carrying such a grading.

研究の動機と目的

• カスパロフKK理論を用いて、C*-代数の階数付きK理論の計算ツールを構築すること。
• コン pact 左作用が単射であるヒルベルト双加群に対して、ピンスナーの6項完全系列を階数付き設定に一般化すること。
• ねじれPグラフC*-代数を定義し、ゲージ不変性の独自性と交叉積分解を用いてその構造を確立すること。
• Pグラフ上のZ₂値関手が関連するC*-代数に次数を誘導すること、および階数付きテンソル積がPグラフのカルテジアン積に対応することを示すこと。
• 開発された道具を用いて、Z₂-次数の下で行有限1グラフC*-代数の階数付きK理論を計算すること。

提案手法

• C*-代数Aの階数付きK理論を、Aが階数付きC*-代数であるときのKK(ℂ, A)として定義し、K₁^grには最初の複素クォaternion代数を用いる。
• コン pact 左作用が単射であるヒルベルト双加群に対して、ピンスナーの6項完全系列の階数付き版を確立する。
• PグラフとZ₂値関手を用いて、ねじれkグラフ代数を一般化することで、ねじれPグラフC*-代数を導入する。
• P = ℕᵏ × F でFがアーベル群のとき、任意のPグラフはkグラフによるFの交叉積として表せることを証明する。
• Pグラフからℤ₂への関手とℤ₂値2次コサイクルから、階数付きねじれC*-代数の普遍的記述を構成する。
• 2つのねじれPグラフ代数の階数付きテンソル積が、自然なコサイクルと関手の下で、P×QグラフのねじれC*-代数に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カスパロフ理論と一般化されたピンスナー系列を用いて、C*-代数の階数付きK理論をどのように計算できるか？
• RQ2 ねじれPグラフC*-代数の構造は何か？また、階数付きC*-代数とどのように関係しているか？
• RQ3 Pグラフ上のZ₂値関手が関連するC*-代数にどのように次数を誘導するか？
• RQ4 階数付きテンソル積の階数付きC*-代数をねじれPグラフ代数として実現できるか？
• RQ5 Z₂-次数が関手ℤ₂への写像によって誘導される行有限1グラフEの階数付きK理論は何か？

主な発見

• C*-代数の階数付きK理論は、奇数自己随伴ユニタリによる共役による次数の摂動に対して不変である。
• Z-次数の下で、階数付きピンスナー–ヴォイキュレツ系列が確立され、古典的ピンスナー–ヴォイキュレツ系列が階数付き設定に一般化された。
• 次数関手によって誘導されるZ₂のC*-代数C*(Z₂)は、最初の複素クォaternion代数ℂℓ₁に同型である。
• P = ℕᵏ × ℤ₂ˡ のとき、自然な関手とコサイクルを用いた関連するねじれPグラフC*-代数は普遍的記述を備える。
• 2つのねじれPグラフ代数の階数付きテンソル積は、自然な関手とコサイクルの下で、P×QグラフのねじれC*-代数に同型である。
• 出力がない源のない行有限1グラフEに対して、関数ℤ₂への次数関手によって誘導されるZ₂-次数の下での階数付きK理論は、K₀^gr = ℤ₂² および K₁^gr = 0 である。