[論文レビュー] Homological Algebra for Superalgebras of Differentiable Functions

David Carchedi, Dmitry Roytenberg|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、超フェルマー理論における微分的可換代数（dg代数）を導入し、$\mathbf{C}^\infty$-環を通じて滑らかな関数を含む古典的dg代数の一般化を行う。統合可能である場合、dg-$\mathbf{C}^\infty$-代数に対してクィルレンモデル構造と単体的充填を確立し、微分的可換多様体をこれらの代数の反対カテゴリに完全に埋め込み、導来微分幾何学の計算可能なモデルを可能にする。

ABSTRACT

This is the second in a series of papers laying the foundations for a differential graded approach to derived differential geometry (and other geometries in characteristic zero). In this paper, we extend the classical notion of a dg-algebra to define, in particular, the notion of a differential graded algebra in the world of C-infinity rings. The opposite of the category of differential graded C-infinity algebras contains the category of differential graded manifolds as a full subcategory. More generally, this notion of differential graded algebra makes sense for algebras over any (super) Fermat theory, and hence one also arrives at the definition of a differential graded algebra appropriate for the study of derived real and complex analytic manifolds and other variants. We go on to show that, for any super Fermat theory S which admits integration, a concept we define and show is satisfied by all important examples, the category of differential graded S-algebras supports a Quillen model structure naturally extending the classical one on differential graded algebras, both in the bounded and unbounded case (as well as differential algebras with no grading). Finally, we show that, under the same assumptions, any of these categories of differential graded S-algebras have a simplicial enrichment, compatible in a suitable sense with the model structure.

研究の動機と目的

• 超フェルマー理論、特に$\mathbf{C}^\infty$-環を含む文脈において、ホモロジー代数を一般化し、その文脈で微分的可換代数を定義すること。
• 統合が可能な任意の超フェルマー理論$\mathbf{S}$に対して、微分的可換$\mathbf{S}$-代数のカテゴリにクィルレンモデル構造を確立すること。
• 微分的可換$\mathbf{S}$-代数のカテゴリに、モデル構造と整合する単体的充填を付与すること。
• 微分的可換多様体をdg-$\mathbf{C}^\infty$-代数の反対カテゴリに完全に埋め込み、導来微分幾何学の幾何学的に直感的な枠組みを可能にすること。
• 一般的な設定における単体的アプローチとは対照的に、直接計算可能なdgに基づく形式的体系を、導来滑らか多様体のためのものとして提供すること。

提案手法

• 超フェルマー理論$\mathbf{S}$上の微分的可換代数を定義し、$\mathbf{S}$が滑らかな関数の評価を可能にする文脈に一般化する。
• 奇数の直線$\mathbb{E}^\times \cong \mathbb{G}_m \ltimes \mathbb{G}_{\mathrm{ad}}^{\underline{1}}$の自己同型群を用いて、代数上の群作用を通じてdg構造を特徴付ける。
• 統合が可能な超フェルマー理論の概念を導入し、これは$\mathbf{C}^\infty$-環を含むすべての重要な例で満たされる。
• 基礎となる理論と整合するファイブレーション、コファイブレーション、弱同値を定義することで、微分的可換$\mathbf{S}$-代数のカテゴリにクィルレンモデル構造を構成する。
• 内部ホムとテンソル積を用いて、dg-$\mathbf{S}$-代数のカテゴリにモデル構造と整合する単体的充填を付与する。
• 滑らかな奇数の直線の自己準同型モノイドを介して、dg-$\mathbf{C}^\infty$-代数の反対カテゴリが微分的可換多様体のカテゴリを完全部分カテゴリとして含むことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分的可換代数の古典的概念は、$\mathbf{C}^\infty$-環を含むような超フェルマー理論上の代数へどのように一般化できるか？
• RQ2 超フェルマー理論$\mathbf{S}$がどのような条件下で、微分的可換$\mathbf{S}$-代数のカテゴリにクィルレンモデル構造を有するか？
• RQ3 微分的可換$\mathbf{S}$-代数のカテゴリに、モデル構造と整合する単体的充填を付与できるか？
• RQ4 微分的可換$\mathbf{C}^\infty$-代数のカテゴリは、微分的可換多様体のカテゴリとどのように関係するか？
• RQ5 幾何学的に直感的でかつ計算可能であるような、導来微分幾何学のdgに基づく形式的体系は存在するか？

主な発見

• 微分的可換$\mathbf{C}^\infty$-代数の反対カテゴリは、微分的可換多様体のカテゴリを完全部分カテゴリとして含む。
• 任意の統合が可能な超フェルマー理論$\mathbf{S}$に対して、微分的可換$\mathbf{S}$-代数のカテゴリは、有界および無限大の両ケースでクィルレンモデル構造を備える。
• 微分的可換$\mathbf{S}$-代数のカテゴリは、クィルレンモデル構造と整合する単体的充填を備える。
• 微分的可換代数の概念は、$\mathbf{C}^\infty$-環、実解析的、複素解析的設定を含む、任意の超フェルマー理論へ一般化される。
• モデル構造と単体的充填は、内部ホムとテンソル積を用いて構成され、ファイブレーションと弱同値は、ラッピングおよびホモトピー的性質によって定義される。
• この構成により、単体的アプローチとは異なり、直接計算可能なdgに基づく導来滑らか多様体のモデルが得られ、計算に適している。