[論文レビュー] Graded manifolds and Drinfeld doubles for Lie bialgebroids

Theodore Voronov|arXiv (Cornell University)|May 29, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、パリティとは独立した$\mathbb{Z}$-グレーディング（重み）を備えたグレーディング付き多様体を導入し、同様の重みを持つホモロジカルベクトル場とシュタウエンベルク括弧を備えたコタングェントバンドル$T^*M$を用いて、グレーディング付き$QS$-および$QP$-多様体（リー双バナリブロイドの一般化）のドリンフェルト双対を構成する。この構成により、リー双代数に対するドリンフェルト双対が回復されるとともに、$QP$-多様体を介して奇数のリー双代数へと拡張され、$\mathfrak{q}(n)$に新たな奇数のリー双代数構造が導入される。

ABSTRACT

We define extit{graded manifolds} as a version of supermanifolds endowed with an additional $\mathbb Z$-grading in the structure sheaf, called extit{weight} (not linked with parity). Examples are ordinary supermanifolds, vector bundles over supermanifolds, double vector bundles, iterated constructions like $TTM$, etc. I give a construction of extit{doubles} for extit{graded} $QS$- and extit{graded $QP$-manifolds} (graded manifolds endowed with a homological vector field and a Schouten/Poisson bracket). Relation is explained with Drinfeld's Lie bialgebras and their doubles. Graded $QS$-manifolds can be considered, roughly, as ``generalized Lie bialgebroids''. The double for them is closely related with the analog of Drinfeld's double for Lie bialgebroids recently suggested by Roytenberg. Lie bialgebroids as a generalization of Lie bialgebras, over some base manifold, were defined by Mackenzie and P. Xu. Graded $QP$-manifolds give an {odd version} for all this, in particular, they contain ``odd analogs'' for Lie bialgebras, Manin triples, and Drinfeld's double.

研究の動機と目的

• リー双バナリブロイドに対するドリンフェルト双対を定義する長年の問題を解決すること。これは、従来の構成では一貫したリー双バナリブロイド構造が得られないためである。
• リー双代数からリー双バナリブロイドへのドリンフェルト双対構成を、重み付きグレーディング付き多様体に基づく新しい幾何的枠組みを導入することで一般化すること。
• 奇数の構造へと理論を拡張するために$QP$-多様体を導入し、リー超代数の奇数版のドリンフェルト双対を構成すること。
• ホモロジカルベクトル場、シュタウエンベルク括弧、コタングェントバンドル上のシンプレクティック構造がリー双バナリブロイド的データに対応する統一的な幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• 構造層にパリティとは独立した$\mathbb{Z}$-グレーディング（重み）を備えたスーパemanifoldとしてグレーディング付き多様体を定義し、スーパemanifoldおよびベクトルバンドルを一般化する。
• $\hat{Q}$（重み$q$のホモロジカルベクトル場）と整合するシュタウエンベルク括弧（重み$s$）を持つ$QS$-多様体、およびホモロジカルベクトル場とポisson括弧を持つ$QP$-多様体を導入し、一般化されたリー双バナリブロイドの幾何的モデルを提供する。
• $DM = T^*M$をグレーディング付き多様体$M$のコタングェントバンドルとして構成し、元の$\hat{Q}$と同一の重み$q$を持つ自然に定義されたホモロジカルベクトル場$\hat{Q}_D$を備える。
• $M$上の線形接続を用いて$DM$上に「ほぼ」シュタウエンベルク括弧を定義し、リー双代数の場合に限り真のシュタウエンベルク括弧となる。
• 線形構造に制限した場合に、この双対構成が古典的ドリンフェルト双対を回復することを証明する。
• $QP$-多様体を考慮することで枠組みを奇数構造へと拡張し、奇数のリー双代数およびその双対の構成を可能にし、$\mathfrak{q}(n)$を例に挙げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の試みがリー双バナリブロイドを一貫して得られないことから、リー双バナリブロイドに対して一貫したドリンフェルト双対構成を定義できるか。
• RQ2 リー双代数に対する古典的ドリンフェルト双対を、基底多様体上のリー双バナリブロイドの設定に一般化する方法は何か。
• RQ3 $\mathbb{Z}$-グレーディング（重み）はスーパemanifoldの構造において果たす役割は何か。また、$\mathbb{Z}_2$-グレーディング（パリティ）とはどのように異なるか。
• RQ4 ドリンフェルト双対の概念を、奇数（超）幾何的構造、たとえば奇数のリー双代数へと拡張できるか。
• RQ5 リー双バナリブロイドの文脈において、ホモロジカルベクトル場とシュタウエンベルク／ポアソン括弧の整合性の幾何的意味は何か。

主な発見

• グレーディング付き$QS$-多様体$M$の双対$DM = T^*M$には、元の$\hat{Q}$と同一の重み$q$を持つ自然に定義されたホモロジカルベクトル場$\hat{Q}_D$が存在し、幾何的構造が保存される。
• リー双代数の場合、$T^*M$上の双対構成により、古典的ドリンフェルト双対が回復され、完全なリー双バナリブロイド構造が得られる。
• シュタウエンベルク括弧は、一般には「ほぼ」シュタウエンベルク括弧にすぎず、線形（リー双代数）の場合にのみジャコビ恒等式を満たす。
• この枠組みは$QP$-多様体へと拡張可能であり、奇数版のドリンフェルト双対を導出し、奇数のリー双代数の構成を可能にする。
• 明示的にリー超代数$\mathfrak{q}(n)$に奇数のリー双代数構造を構成し、奇数パrameter$\varepsilon$を伴う量子スーパーグループ$GQ_\varepsilon(n)$への量子化を示唆する。
• $\Pi T^*E$と$\Pi T^*(\Pi E^*)$の間の自然な微分同相写像が構成され、奇数シンプレクティック形式を保存する。これは双対構成における双対性の根拠となる。