[論文レビュー] Gradient recovery for elliptic interface problem: I. body-fitted mesh

Hailong Guo, Xu Yang|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、境界適合メッシュ上での楕円型界面問題に対して、解の界面における不規則性のため従来の回復手法が失敗するのを克服する、新しい埋め込み勾配回復法を提案する。界面によって分離された各部分領域に対して局所的に多項式保存回復（PPR）を適用することにより、超収束を達成し、漸近的に正確な後騒誤差推定器を提供する。理論的分析とやや不規則なメッシュおよび適応的メッシュ上の数値例により検証されている。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel gradient recovery method for elliptic interface problem using body-fitted mesh in two dimension. Due to the lack of regularity of solution at interface, standard gradient recovery methods fail to give superconvergent results, and thus will lead to overrefinement when served as a posteriori error estimator. This drawback is overcome by designing an immersed gradient recovery operator in our method. We prove the superconvergence of this method for both mildly unstructured mesh and adaptive mesh, and present several numerical examples to verify the superconvergence and its robustness as a posteriori error estimator.

研究の動機と目的

• 解の界面における低次元の正則性のため、従来の勾配回復手法が超収束を達成できない楕円型界面問題に対処すること。
• 解がグローバルに滑らかでない場合でも、依然として超収束を維持する勾配回復スキームを開発すること。
• 適応有限要素法における界面問題に対して、頑健で漸近的に正確な後騒誤差推定器を構築すること。
• 超収束理論をやや不規則なメッシュおよび適応的メッシュに拡張すること。

提案手法

• 界面によって定義される各部分領域に対して別々に多項式保存回復（PPR）を適用する埋め込み勾配回復作用素を設計すること。
• 界面から離れたノードに対しては標準的なPPRを適用するが、界面に隣接するノードに対しては、各部分領域内でのみのサンプリング点を用いて最小二乗法により二次多項式をフィッティングする。
• 界面ノードごとに、解の非微分可能性を反映する2つの異なる勾配近似を構築する。
• 先行研究の超接近結果を活用し、やや不規則なメッシュ仮定のもとで超収束を確立する。
• 実用的な仮定と[41]からの超接近推定値を用いて、適応的メッシュに於いての超収束を証明する。
• 回復された勾配に基づいて回復型の後騒誤差推定器を導出し、漸近的正確性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解がグローバルに正則性を持たない場合でも、勾配回復手法が楕円型界面問題に対して超収束を達成できるか？
• RQ2 部分領域局所的PPRアプローチは、界面問題における従来の回復手法の限界を克服できるか？
• RQ3 提案された勾配回復作用素は、やや不規則な境界適合メッシュ上でも超収束を示すか？
• RQ4 適応的メッシュに於いても、超収束を維持し、漸近的に正確な後騒誤差推定器を提供できるか？
• RQ5 特異界面問題において、回復ベースの誤差推定器は古典的推定器と比較して、頑健性と精度の面で優れているか？

主な発見

• 提案された埋め込み勾配回復法は、やや不規則なメッシュおよび適応的メッシュの両方において超収束を達成する。
• 数値結果により、β⁻ = 1000およびβ⁻ = 10000の均等メッシュ上でのエネルギー誤差に対して、超収束率O(N^0.95)が確認された。
• 特異性が存在する場合、理論的予測どおりにエネルギー誤差に対して最適収束率O(N^{-0.5})が得られた。
• 数値実験において、後騒誤差推定器の有効インデックスは1に近く保たれ、均等メッシュおよび適応的メッシュ上での漸近的正確性が確認された。
• 回復ベースの誤差推定器は、過剰なメッシュの細分化を伴わず特異性を的確に捉え、適応的メッシュの細分化において、古典的SPRおよびPPR推定器を上回った。
• 低次元のグローバル正則性（u ∈ H^{1+ε}）を示すKellogg問題において、推定器は漸近的に正確でないものの、実用的な信頼性を示した。