[論文レビュー] Graph cohomology and Kontsevich cycles

Kiyoshi Igusa|ArXiv.org|Mar 13, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非可換グラフホモロジーにおける双対コンツェビッチサイクルと、写像類群のコホモロジーにおける調整済みミラー＝モリタ＝マウムフォード類の多項式との間の明確な対応を確立する。リボングラフのセルコホモロジー複体とグラフコホモロジー複体の間の有理数的チェーンホモトピー同値を用いて、多項式の最初の2項の明示的公式を計算し、アルバレロとコルナーラの予想を検証・拡張し、コンツェビッチが提起した疑問を解決する。

ABSTRACT

The dual Kontsevich cycles in the double dual of associative graph homology correspond to polynomials in the Miller-Morita-Mumford classes in the integral cohomology of mapping class groups. I explain how the coefficients of these polynomials can be computed using Stasheff polyhedra and results from my previous paper GT/0207042.

研究の動機と目的

• コンツェビッチサイクルが非可換グラフホモロジーに現れる場合と、写像類群のコホモロジーに現れるミラー＝モリタ＝マウムフォード類との関係を明確化すること。
• イグサの先行研究を拡張し、グラフコホモロジーと写像類群コホモロジーの間の双対性について詳細な証明を提供すること。
• 双対コンツェビッチサイクルの多項式表現における最初の2項の係数を、調整済みミラー＝モリタ＝マウムフォード類の観点から明示的に計算すること。
• これらのサイクルが曲線のモジュライ空間に作用する際の、アルバレロとコルナーラによる予想された公式を検証および一般化すること。

提案手法

• リボングラフのカテゴリのセルコホモロジー複体と整数値グラフコホモロジー複体との間の有理数的チェーンホモトピー同値を構成する。
• 森のキャリア構成を用いて、グラフコホモロジー複体上のアキュライト${\mathbb{Z}}$-付加チェーン複体を定義する。
• コンタント＝ヴォグトマンによるグラフの向きの定義を用いて、スタシャェフのアソシアヘドロンの内在的向きを決定し、符号の規約を正当化する。
• 循環的セットコサイクルを用いて、ミラー＝モリタ＝マウムフォード類をコンツェビッチサイクルに作用させる。
• 特定のリボングラフ構成における符号と重複度の詳細な計算を行い、係数を導出する。
• グラフコホモロジーからセルコホモロジー複体への有理数的逆写像$\psi$を導出し、有理数的ホモトピー同値を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換グラフホモロジーにおける双対コンツェビッチサイクルは、写像類群のコホモロジーにおけるミラー＝モリタ＝マウムフォード類とどのように関係しているか？
• RQ2 双対コンツェビッチサイクルを表す調整済みミラー＝モリタ＝マウムフォード類における明示的多項式表現は何か？
• RQ3 この多項式の係数は、曲線のモジュライ空間のストラタのペアノ双対におけるアルバレロとコルナーラの予想とどのように関係しているか？
• RQ4 リボングラフカテゴリとグラフコホモロジー複体との間の有理数的チェーンホモトピー同値の正確な構造は何か？
• RQ5 コンツェビッチサイクルの公式における係数の対称性は、一般の$n,k$に対して証明可能か、そして拡張可能か？

主な発見

• $n \neq 1$ の場合、双対コンツェビッチサイクル$[W_{n,1}^\ast]$は$3(-2)^{n+3}(2n+1)!!(\widetilde{\kappa}_n\widetilde{\kappa}_1 - \widetilde{\kappa}_{n+1}) - (-2)^{n+2}(2n+5)!!\widetilde{\kappa}_{n+1}$で与えられる。
• $n = 1$ の場合、式は2で割られ、$[W_{1,1}^\ast] = 72\widetilde{\kappa}_1^2 + 348\widetilde{\kappa}_2$となる。これは既知の計算と一致する。
• $[W_{n,1}^\ast]$の公式は、アルバレロとコルナーラの計算と一致し、彼らのストラタへのサイクル作用に関する予想された作用を確認する。
• $[W_{n,k}^\ast]$の一般公式は、すべての$k \leq 7$に対して検証され、$n=k=2$の場合は$[W_{2,2}^\ast] = 7200\widetilde{\kappa}_2^2 + 159120\widetilde{\kappa}_4$となり、彼らの結果と整合的である。
• $[W_{1,1,1}^\ast] = 288\widetilde{\kappa}_1^3 + 4176\widetilde{\kappa}_1\widetilde{\kappa}_2 + 20736\widetilde{\kappa}_3$が計算され、予想された構造と整合的であることが示された。