[論文レビュー] Graph product structure for non-minor-closed classes

Vida Dujmović, Pat Morin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非最小部分グラフ閉包グラフクラスに対して積構造定理を確立し、任意の$k$-平面グラフが、幅$O(k^5)$の木幅を持つグラフとパスの強い積の部分グラフに同型であることを証明する。これは、積構造定理の適用範囲を最小部分グラフ閉包クラスに限らずに拡張し、$k$-平面および関連するグラフクラスにおける非反復彩色、中心彩色、ユニバーサルグラフに関する新たな境界を可能にする。

ABSTRACT

Dujmović et al. [\emph{J.~ACM}~'20] recently proved that every planar graph is isomorphic to a subgraph of the strong product of a bounded treewidth graph and a path. Analogous results were obtained for graphs of bounded Euler genus or apex-minor-free graphs. These tools have been used to solve longstanding problems on queue layouts, non-repetitive colouring, $p$-centered colouring, and adjacency labelling. This paper proves analogous product structure theorems for various non-minor-closed classes. One noteable example is $k$-planar graphs (those with a drawing in the plane in which each edge is involved in at most $k$ crossings). We prove that every $k$-planar graph is isomorphic to a subgraph of the strong product of a graph of treewidth $O(k^5)$ and a path. This is the first result of this type for a non-minor-closed class of graphs. It implies, amongst other results, that $k$-planar graphs have non-repetitive chromatic number upper-bounded by a function of $k$. All these results generalise for drawings of graphs on arbitrary surfaces. In fact, we work in a more general setting based on so-called shortcut systems, which are of independent interest. This leads to analogous results for certain types of map graphs, string graphs, graph powers, and nearest neighbour graphs.

研究の動機と目的

• 最小部分グラフ閉包クラス（例：平面グラフや頂点除去型最小部分グラフフリーなグラフ）に限定されていた積構造定理を、非最小部分グラフ閉包クラス（例：$k$-平面グラフ）へ拡張すること。
• 局所的交差または交差パターンが有界であるような多様な非最小部分グラフ閉包クラス（ストリンググラフ、マップグラフ、最近隣接グラフなど）を捉えるための一般化されたフレームワークとしてショートカットシステムを導入すること。
• 新しい構造的結果を用いて、これらのクラスにおける非反復彩色、$p$-中心彩色、隣接ラベル付けの定量的境界を導出すること。
• $(g,k)$-平面グラフおよび$(g,\text{clique})$-マップグラフを定義することで、表面に埋め込まれたグラフへの一般化を図ること。
• $n$-頂点のグラフクラスにおいて、$n^{1+o(1)}$サイズのユニバーサルグラフが存在することを確立し、効率的な隣接ラベル付けを可能にすること。

提案手法

• 局所的交差または交差パターンが有界であるグラフクラスを捉える一般化されたフレームワークとしてショートカットシステムの概念を導入する。
• $k$-平面グラフが有界拡張を持つレイヤード分割を備えていることを証明し、低木幅グラフとパスの積への埋め込みを可能にする。
• 木幅$O(k^5)$のグラフ$H$とパス$P$の強い積$H \boxtimes P$を用いて$k$-平面グラフを表現する。これは、平面グラフや有界ジェネルスのグラフに対する先行結果を一般化する。
• 木幅が有界なグラフの彩色数および彩色パラメータに関する既知の境界を活用し、積クラスに関する境界を導出する。
• 積グラフに関する既知の結果と組み合わせることで、$p$-中心彩色、非反復彩色、ユニバーサルグラフに関する境界を導出するフレームワークを適用する。
• 表面に埋め込まれたグラフへの一般化を図るため、$(g,k)$-平面グラフ（オイラー特性$g$の表面に、各辺が$k$回交差するグラフ）を定義し、類似の構造定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積構造定理は、非最小部分グラフ閉包クラス（例：$k$-平面グラフ）へ拡張可能か？
• RQ2 $k$-平面グラフの強い積表現におけるベースグラフの木幅依存性はいかほどか？
• RQ3 $k$-平面グラフおよび関連クラス（例：ストリンググラフ、マップグラフ）の構造的性質は、彩色およびラベル付けの複雑さにどのように影響するか？
• RQ4 ショートカットシステムフレームワークを用いて、多様なグラフクラスにわたる非反復および$p$-中心彩色の統一された境界を導出可能か？
• RQ5 これらのクラスに属する$n$-頂点グラフは、$n^{1+o(1)}$サイズのユニバーサルグラフを備え、それらが誘導部分グラフとして含まれるか？

主な発見

• 任意の$k$-平面グラフは、木幅$O(k^5)$のグラフとパスの強い積の部分グラフに同型であり、非最小部分グラフ閉包クラスにおける最初のこのような結果である。
• $k$-平面グラフの非反復彩色数は、$k$の関数として有界であり、積構造および木幅有界グラフに関する既知の境界から示唆される。
• $k$-平面グラフの$p$-中心彩色数は$(18k^2 + 48k + 30) \times 4^{\binom{k+4}{3}}$で有界であり、固定された$k$に対して$p$に関して多項式的であり、以前の二重指数的境界を改善する。
• $(g,k)$-平面グラフの$p$-中心彩色数は$\text{max}\big\brace{2g,3\big\brace} \times (6k^2 + 16k + 10)(p+1)\binom{p + \binom{k+4}{3} - 1}{\binom{k+4}{3} - 1}$で有界であり、固定された$g,k$に対して再び$p$に関して多項式的である。
• サイズ$n^{1+o(1)}$のユニバーサルグラフ$U_n$が存在し、それには任意の$n$-頂点の$(g,k)$-平面グラフ、$(g,d)$-マップグラフ、$(g,\nu)$-ストリンググラフ、$k$-最近隣接グラフ、最大次数$\triangle$の$X$-最小部分グラフフリーなグラフの$k$-乗グラフがすべて誘導部分グラフとして含まれる。
• フレームワークにより、$d$-マップグラフおよび$k$-最近隣接グラフにおける非反復および$p$-中心彩色の境界が得られるが、これらは次数に基づく境界に比べて弱く、後者の方がこれらの状況ではタイトである。