[論文レビュー] Graph Representations and Topology of Real and Angle Valued Maps

Dan Burghelea, Stefan Haller|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、実値および角度値のタム写像に対して、グラフ表現と位相的不変量（バー・コードとジョルダン細胞）を導入し、隣接する次元における閉じたバー・コードと開いたバー・コードの和、およびモノドロミー（ジョルダン細胞）のホモトピー不変性を証明する。また、臨界値とパーシステンス不変量に基づくモース–ノヴィコフ理論の再解釈を提供し、従来の勾配に基づく手法よりも広範な枠組みを提示する。

ABSTRACT

In this paper we review the definition of the invariants "bar codes" and "Jordan cells" of real and angle valued tame maps as proposed in Burghelea and Dey and Carlsson et al and prove the homotopy invariance of the sum # B^c_r +#B^o_{r-1}$ and of the Jordan cells. Here B^c_r resp. B^o_r denote the sets of closed resp. open bar codes in dimension r and # denotes cardinality. In addition we provide calculation of some familiar topological invariants in terms of bar codes and Jordan cells. The presentation provides a different perspective on Morse-Novikov theory based on critical values, bar codes and Jordan cells rather than on critical points instantons and closed trajectories of a gradient of a real or angle valued map.

研究の動機と目的

• バー・コードとジョルダン細胞を不変量として用いることにより、実値および角度値写像のための新しい位相的枠組みを確立すること。
• ペア $(X, \xi_f)$ における $\sharp\mathcal{B}^{c}_{r} + \sharp\mathcal{B}^{o}_{r-1}$ およびジョルダン細胞の集合が、$\xi_f \in H^1(X; \mathbb{Z})$ のコhomology類を保つホモトピー同値の下で不変であることを証明すること。
• 臨界点と勾配軌道ではなく、臨界値、バー・コード、モノドロミーに基づいてモース–ノヴィコフ理論を再定式化すること。
• タム写像に限らない連続写像に、コンパクトな ANR ファイバーを持つ場合にまで、パーシステンス理論的不変量を一般化すること。
• グラフ表現における基本変換を用いた、バー・コードとジョルダン細胞の計算手法を提供すること。

提案手法

• タム写像のファイバーにおけるホモロジー類のパーシステンスを表すために、実数直線上の区間 $[a,b]$、$(a,b)$、または混合型 $[a,b)$、$(a,b]$ としてバー・コードを定義する。
• 有限次元ベクトル空間上の線形自己同型の分解不能ブロックとしてジョルダン細胞を定義し、角度値写像におけるモノドロミーを捉える。
• レベル集合の構造とそれらの間の移行写像をエンコードするためのグラフ表現を用い、基本変換を通じて不変量の計算を可能にする。
• タム写像に関連する標準的長完全列を適用し、部分レベル集合のホモロジーとバー・コード・ジョルダン細胞を関連付ける。
• 基本変換 $T_i(j)$ を用いて表現を単純化し、段階的にバー・コードを削除しながら、その過程で不変量を追跡する。
• ホモトピー同値がコhomology類 $\xi_f$ を保存する限り、$N_r(f) = \sharp\mathcal{B}^{c}_{r}(f) + \sharp\mathcal{B}^{o}_{r-1}(f)$ およびモノドロミー $(V_r(f), T_r(f))$ が不変であることを示すことにより、ホモトピー不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実値および角度値のタム写像に対して、バー・コードとジョルダン細胞を不変量としてどのように定義できるか？
• RQ2 和 $\sharp\mathcal{B}^{c}_{r} + \sharp\mathcal{B}^{o}_{r-1}$ およびジョルダン細胞の集合のホモトピー不変性はどのように評価できるか？
• RQ3 臨界点と勾配軌道ではなく、臨界値とパーシステンス不変量に基づいて、モース–ノヴィコフ理論を再解釈できるか？
• RQ4 バー・コードとジョルダン細胞は、ベッチ数やホモロジー群といった古典的位相的不変量とどのように関係するか？
• RQ5 この枠組みは、タム写像に限らず、コンパクトな ANR ファイバーを持つ連続写像へと拡張可能か？

主な発見

• ペア $(X, \xi_f)$ において、$\xi_f \in H^1(X; \mathbb{Z})$ が写像 $f$ のコhomology類であるとき、和 $\sharp\mathcal{B}^{c}_{r}(f) + \sharp\mathcal{B}^{o}_{r-1}(f)$ はホモトピー不変量である。
• ジョルダン細胞の集合 $\mathcal{J}_r(f)$ もペア $(X, \xi_f)$ のホモトピー不変量であり、モノドロミー $(V_r(f), T_r(f))$ はホモトピー同値の下で保存される。
• 第7節の例では、バー・コードとして $[2,3]$、$(4,5)$、$(\theta_6, \theta_1 + 2\pi]$ が含まれ、唯一のジョルダン細胞は次元1における $(2,2)$ である。
• 次元1におけるモノドロミーは、写像 $\omega_1$ と $\omega_2$ によって定義される線形関係の正則部分として特定され、ジョルダン細胞 $(2,2)$ を得る。
• 基本変換 $T_i(j)$ を用いることで、グラフ表現を既約成分に分解でき、バー・コードの系統的削除と不変量の抽出が可能になる。
• 次元0では、唯一の不変量はジョルダン細胞 $\rho^{II}(1;1)$ であり、この次元におけるすべてのファイバーの連結性を反映している。