[論文レビュー] Graphical small cancellation groups with the Haagerup property

Goulnara Arzhantseva, Damian Osajda|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、lacunary walling 条件を満たす無限グラフィカル小拡張関係による有限生成群に対して、Haagerup 性質が確立される。$C^{\raisebox{1pt}{\textquotesingle}}(\overline{\lambda})$-複体が線形分離性を満たすことを示したことで、このような群が壁を持つ空間に真性作用をもち、ヒルバート空間への粗い埋め込みおよび strong Baum-Connes 猜定の正当性を示す。

ABSTRACT

We prove the Haagerup property (= Gromov's a-T-menability) for finitely generated groups defined by infinite presentations satisfying the graphical C'(lambda)-small cancellation condition with respect to graphs endowed with a compatible wall structure. We deduce that these groups are coarsely embeddable into a Hilbert space and that the strong Baum-Connes conjecture and, hence, the Baum-Connes conjecture with arbitrary coefficients hold for them. As the main step we show that C'(lambda)-complexes satisfy the linear separation property. Our result provides many new examples and a general technique to show the Haagerup property for graphical small cancellation groups.

研究の動機と目的

• 無限の関係式によって定義されるグラフィカルに提示された群の広範なクラスに対して Haagerup 性質を確立すること。
• グラフの組合せ構造と小拡張ラベル付けの間の自然な整合性条件を特定し、Haagerup 性質を保証すること。
• 特に無限に提示された群に対して、グラフィカル小拡張の文脈で Haagerup 性質を示す一般的手法を提供すること。
• ヒルバート空間に粗く埋め込めるが、粗くアーベル的でない有限生成群の構成という未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 壁の構造と $C^{\raisebox{1pt}{\textquotesingle}}(\overline{\lambda})$-小拡張ラベル付けとの間の整合性要件として lacunary walling 条件を導入する。
• lacunary walling 条件を満たす複体が線形分離性を示すことを証明する。すなわち、経路距離と壁擬距離が双リプシッツ同値である。
• 線形分離性を用いて、壁を持つ空間への真性等距作用が得られ、これが Haagerup 性質を示す。
• 壁擬距離に病理的挙動を避けるために $\beta$-条件と $\delta$-条件が必要であることを示す、具体的なグラフィカル提示の例を構成する。
• 無限の提示において $\delta$-条件が失敗する場合、大きな経路距離であっても少数の壁によって分離された測地線が生じることを示す。
• lacunarity 条件を既存の概念（$\pi/2$-強分離性）と比較し、論理的に独立であるが、両者とも壁の分布を制御するために有効であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間に粗く埋め込めるが、粗くアーベル的でない有限生成群は存在するか？
• RQ2 グラフのラベル付けにどのような組合せ的条件が、得られるグラフィカル小拡張群の Haagerup 性質を保証するか？
• RQ3 適切な壁構造のもとで、$C^{\raisebox{1pt}{\textquotesingle}}(\overline{\lambda})$-複体が線形分離性を満たすか？
• RQ4 $\beta$-条件と $\delta$-条件が無限グラフィカル提示において壁擬距離に与える影響は何か？
• RQ5 lacunarity 条件は、壁を持つ空間への真性作用の文脈で、$\pi/2$-強分離性をどの程度置き換えたり一般化したりするか？

主な発見

• 主な結果として、lacunary walling 条件を満たす任意の有限生成群が、壁を持つ空間に真性作用をもち、したがって Haagerup 性質を有することを確立した。
• $C^{\raisebox{1pt}{\textquotesingle}}(\overline{\lambda})$-複体が lacunary walling 条件を満たす場合、経路距離と壁擬距離が双リプシッツ同値であるという線形分離性を満たす。
• 関係式が $(4k+2)$-角形で、壁が上記のように定義される無限グラフィカル提示によって定義される群 $G$ において、$d(v_1,v_{2k+2}) = 2k+1$ であるが、$d_W(v_1,v_{2k+2}) = 1$ であるため、$\delta$-条件が失敗すると壁擬距離が不適切になることが示された。
• $k$ 個の関係式 $r$ のコピーから構成される複体 $X_k$ において、$k=3$ のとき、$d_W(p,q) = 8$ であるが、経路距離は $d(p,q) = 24$ である。これは無限極限における真性の失敗を示している。
• lacunarity 条件は、長大な測地線において壁が辺をすべて埋め尽くすのを防ぐために必要であることが示された。構成における木の辺の数が直径に対して指数関数的に増加するのを示した。
• 著者らは、$\pi/2$-強分離性と lacunarity 条件が論理的に独立であることを示し、後者が壁を持つ空間への定量的アプローチにおいてより適していることを示した。