[論文レビュー] Graphs as rotations

Dainis Zeps|ArXiv.org|Sep 1, 2009

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、グラフを置換として表現するための新しい代数的枠組みを提示する。組合せ的マップは、頂点と面のサイクルを符号化する置換のペアとして定義される。主な貢献は、任意の組合せ的マップが、ジグザグウォークを符号化する置換（ねじれ、すなわち「 knot 」）と自己随伴マップの積として一意に表現できることを示したことである。これにより、曲面上へのグラフ埋め込みの群論的基盤が確立される。

ABSTRACT

Using a notation of corner between edges when graph has a fixed rotation, i.e. cyclical order of edges around vertices, we define combinatorial objects - combinatorial maps as pairs of permutations, one for vertices and one for faces. Further, we define multiplication of these objects, that coincides with the multiplication of permutations. We consider closed under multiplication classes of combinatorial maps that consist of closed classes of combinatorial maps with fixed edges where each such class is defined by a knot. One class among them is special, containing selfconjugate maps.

研究の動機と目的

• 固定された回転を持つグラフの形式的代数的表現を、置換ペアを用いて確立すること。
• 組合せ的マップに閉じた乗法的演算を定義し、その演算が閉じていることを保証すること。
• 交互に辺とコーナーを通過する巡回構造として導かれる、組合せ的ねじれ（knot）の概念を導入すること。
• 固定された辺を持つマップのクラス内で、自己随伴マップが部分群をなすことを特徴づけること。
• 任意のマップがそのねじれと自己随伴マップの積に一意に分解できることを証明し、構造的分解を可能にする。

提案手法

• P⁻¹Q が固定点のない対合（すなわちマッチング）であるような、異なる置換のペア (P, Q) として組合せ的マップを定義する。
• 次辺マッチング π = P⁻¹Q と、辺マッチング ϱ = πᴾ⁻¹ を導入し、それぞれ辺とコーナーの関係を符号化する。
• π と ϱ の作用を交互に適用することで定義される置換 μ（ねじれ）を定義し、偶数長のサイクルを形成する。
• 置換の乗法によりマップの乗法を定義し、π が固定されているとき、この演算が閉じていることを示す。
• 共役とコセット分解を用いて同型類を分析し、同型なマップが安定化部分群 Kπ の元による共役であることを示す。
• 自己随伴マップのクラスが部分群をなし、任意のマップが μ（ねじれ）と自己随伴マップ s の積 μ × s として一意に分解できることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された回転を持つグラフは、どのように置換ペアを用いて代数的に表現できるか？
• RQ2 乗法演算に関して閉じた組合せ的マップの集合に内在する代数的構造は何か？
• RQ3 組合せ的ねじれはジグザグウォークや辺・頂点を交互に通過するパターンとどのように関係するか？
• RQ4 任意の組合せ的マップは、ねじれと自己随伴マップに分解可能か？
• RQ5 2つのマップが同型である条件は何か？これは置換群における共役とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の組合せ的マップ (P, P·π) は、次辺マッチング π と辺マッチング ϱ によって誘導される2つのコーナー集合への適切な分割を持つ。
• π と ϱ の作用を交互に適用することで定義されるねじれ μ は、ジグザグウォークに対応するサイクルを持つ置換であり、方向反転に対して不変である。
• ねじれ μ は恒等式 π^μ = ϱ を満たし、辺マッチングと次辺マッチングの間の直接的な代数的関係を確立する。
• π が固定されたマップのクラスは乗法に関して群をなし、対称群 S₂ₘ に同型であり、安定化部分群 Kπ の (2m−1)!! 個の左コセットに分解される。
• 任意のマップは、そのねじれ μ と自己随伴マップ s の積 μ × s として一意に表現可能であり、P = μ × s と書ける。これは構造的因数分解定理の証明である。
• 同型なマップは、A ∈ Kπ を満たす置換 A による共役で関係づけられ、2つのマップが同じ閉じた乗法クラスに属するための必要十分条件は、A が π を安定化することである。