[論文レビュー] Graphs of bounded degree and the $p$-harmonic boundary

Michael J. Puls|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有界次数のグラフに対して $p$-調和境界を定義し、有限生成群 $\Gamma$ の第一還元 $\ell^p$-コホロジーが 0 であるための必要十分条件として、$p$-調和境界の濃度が 0 または 1 であること、すなわち、コホロロジーの消滅が境界構造と関連することを確立している。主な貢献は、$\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma) = 0$ を $p$-調和境界を用いて特徴づけ、コホロジーの消滅と境界構造を結びつけ、連続的 $p$-調和関数が境界から連続的に拡張可能であることを示したことである。

ABSTRACT

Let $p$ be a real number greater than one and let $G$ be a connected graph of bounded degree. In this paper we introduce the $p$-harmonic boundary of $G$. We use this boundary to characterize the graphs $G$ for which the constant functions are the only $p$-harmonic functions on $G$. It is shown that any continuous function on the $p$-harmonic boundary of $G$ can be extended to a function that is $p$-harmonic on $G$. Some properties of this boundary that are preserved under rough-isometries are also given. Now let $Γ$ be a finitely generated group. As an application of our results we characterize the vanishing of the first reduced $\ell^p$-cohomology of $Γ$ in terms of the cardinality of its $p$-harmonic boundary. We also study the relationship between translation invariant linear functionals on a certain difference space of functions on $Γ$, the $p$-harmonic boundary of $Γ$ with the first reduced $\ell^p$-cohomology of $Γ$.

研究の動機と目的

• 有界次数のグラフに対する $p$-調和境界を定義・研究し、Royden 型境界を $p$-下調和設定に一般化すること。
• 有限生成群 $\Gamma$ における第一還元 $\ell^p$-コホロジー $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma)$ の消滅を、$p$-調和境界の濃度によって特徴づけること。
• $D_p(\Gamma)/\mathbb{R}$ 上の非自明な連続的 $\Gamma$-不変線形関数の存在と $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma)$ の非消滅との間の対応を確立すること。
• 粗等長写像における $p$-調和境界の不変性を調べ、$p$-調和関数およびコホロジーと関連付けること。

提案手法

• 有界次数のグラフ $G$ の $p$-調和境界 $\partial_p(G)$ を、無限に発散する列の同値類の集合として定義する。収束は $p$-調和関数を用いて定義される。
• $p$-下調和構造と $p$-ラプラシアン $\triangle_p$ を用いて $p$-調和関数を定義し、それらをコホロジーの消滅と関連付ける。
• ハーン＝バナッハの定理を用いて、$D_p(\Gamma)/\mathbb{R}$ 上の非ゼロ連続的 $\Gamma$-不変線形関数の存在と $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma)$ の非消滅との関係を確立する。
• $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma) = 0$ であるための必要十分条件として、$\Gamma$ 上の $p$-調和関数が定数関数に限られること、すなわち $\partial_p(\Gamma)$ が濃度 0 または 1 であること、を示す。
• $\partial_p(G)$ 上の任意の連続関数が $G$ 上の $p$-調和関数に拡張可能であることを示し、境界への拡張性を確立する。
• 粗等長写像を用いて、$p$-調和境界構造が粗幾何的同値関係のもとで保存されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群 $\Gamma$ の第一還元 $\ell^p$-コホロジー $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma)$ が何時消えるか。幾何学的にどのように特徴づけられるか。
• RQ2 $p$-調和境界 $\partial_p(\Gamma)$ の濃度と、$\Gamma$ 上に非定数 $p$-調和関数が存在するとの間の正確な関係は何か。
• RQ3 $D_p(\Gamma)/\mathbb{R}$ 上の連続的 $\Gamma$-不変線形関数とコホロジー $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma)$ および $p$-調和境界との関係は何か。
• RQ4 $p$-調和境界は粗等長写像に関して不変か。どのような幾何的不変量を保存するか。
• RQ5 $p$-調和境界を用いて、すべての $p > 1$ に対してアーベル群の第一還元 $\ell^p$-コホロジーが消えるというグロモフの予想を解けるか。

主な発見

• $\Gamma$ の第一還元 $\ell^p$-コホロジー $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma)$ が 0 であるための必要十分条件は、$p$-調和境界 $\partial_p(\Gamma)$ の濃度が 0 または 1 であること。
• $\Gamma$ 上の $p$-調和関数が定数関数に限られるのは、$\partial_p(\Gamma)$ が空集合または単一要素集合であるときであり、これは $\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma) = 0$ と同値である。
• 有界次数のグラフ $G$ の $p$-調和境界 $\partial_p(G)$ 上に定義された任意の連続関数は、$G$ 上の $p$-調和関数に拡張可能である。
• $D_p(\Gamma)/\mathbb{R}$ 上に非ゼロの連続的 $\Gamma$-不変線形関数が存在するための必要十分条件は、$\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma) \neq 0$ であることであり、コホロジーと関数の間に双対性が存在する。
• 非アーベル群では、$D_p(\Gamma)/\mathbb{R}$ 上に非ゼロの連続的 $\Gamma$-不変線形関数が存在しても、すべての $p > 1$ に対しては成り立たない。双曲空間における反例により、$\bar{H}^{1}_{(p)}(\Gamma) \neq 0$ となるのは $p > n-1$ のときのみであることが示された。
• $p$-調和境界は粗等長写像によって保存され、粗幾何的不変量としての堅牢性を示している。