[論文レビュー] Vanishing of the first reduced cohomology with values in an $L^p$-representation

Romain Tessera|ArXiv.org|Oct 31, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、$1 < p < \infty$ に対して、混合 $L^p$-表現値をとる最初の還元されたコホロロジーが、連結なアメーブルなリー群や多可換群を含む広範なアメーブル群のクラスに対して消えることを証明している。この結果は、Gromov が有限生成アメーブル群に対して最初の還元された $\ell^p$-コホロロジーが消えると予想した仮説を裏付け、Pansu が同調的で無限に閉じたリーマン多様体上で最初の還元された $L^p$-コホロロジーが消えると予想した仮説を証明する。

ABSTRACT

We prove that the first reduced cohomology with values in a mixing Lp-representation, p larger than 1, vanishes for a class of amenable groups including connected amenable Lie groups. In particular this solves for this class of amenable groups a conjecture of Gromov saying that every finitely generated amenable group has no first reduced lp-cohomology. As a byproduct, we prove a conjecture by Pansu. Namely, the first reduced Lp-cohomology on homogeneous, closed at infinity, Riemannian manifolds vanishes. We also prove that a Gromov hyperbolic geodesic metric measure space with bounded geometry admitting a bi-Lipschitz embedded 3-regular tree has non-trivial first reduced Lp-cohomology for large enough p. Combining our results with those of Pansu, we characterize Gromov hyperbolic homogeneous manifolds: these are the ones having non-zero first reduced Lp-cohomology for some p larger than 1.

研究の動機と目的

• Gromov が予想した、すべての有限生成アメーブル群が $1 < p < \infty$ に対して自明な最初の還元された $\ell^p$-コホロロジーを持つという仮説を解決すること。
• Pansu が予想した、同調的で無限に閉じたリーマン多様体上で最初の還元された $L^p$-コホロロジーが消えるという仮説を証明すること。
• ある $1 < p < \infty$ に対して最初の還元された $L^p$-コホロロジーが非自明であるという性質によって、Gromov 超曲幾何的同調的多様体を特徴付けること。
• アメーブル群上の $L^p$-表現に対して、Property $H_{FD}$ の弱い準同型不変量を確立すること。
• 幾何的構造（例えば、双リプシッツ埋め込みられた木）と最初の還元された $L^p$-コホロロジーの非自明性との関係を分析すること。

提案手法

• 強い混合性を持つ $L^p$-表現（$L^p$-空間への連続等長作用）の概念を用いる。
• アメーブル群のコホロロジー的性質を分析するために、制御された Følner 列（Property (CF)）の概念を適用する。
• Gromov 超曲幾何的空間に埋め込まれた3正則木の境界上で定義されたリプシッツ関数を拡張することで、$\overline{H}_p^1(X)$ 内に非自明なコサイクルを構成する。
• 準測地線的線分と境界同定を用いて、距離空間 $X$ 上の関数 $f$ を定義し、$p$ が十分に大きい場合に $D_p(X)$ に属することを示す。
• 各頂点に $\mathbf{N}$ を付加する構成により $\tilde{X}$ を作ることで、一般の場合を、すべての点が基点からの測地線から有界距離内にあるモデル空間に還元する。
• 1次スケルトンにおけるサイクルとのカップリングを用いて、関数が双リプシッツに埋め込まれた木上で定数でない場合にコホロロジー類が非自明であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromov が予想したように、すべての有限生成アメーブル群に対して最初の還元された $L^p$-コホロロジーは消えるか？
• RQ2 Pansu が予想したように、同調的で無限に閉じたリーマン多様体上で最初の還元された $L^p$-コホロロジーは消えるか？
• RQ3 双リプシッツに埋め込まれた3正則木の存在と最初の還元された $L^p$-コホロロジーの非自明性との関係は何か？
• RQ4 最初の還元された $L^p$-コホロロジーの消滅を用いて、Gromov 超曲幾何的同調的多様体を特徴付けることができるか？
• RQ5 アメーブル群上の $L^p$-表現に対して、Property $H_{FD}$ の準同型不変量の一般化は存在するか？

主な発見

• すべての連結アメーブルなリー群および多可換群に対して、任意の強混合 $L^p$-表現値をとる最初の還元コホロロジーは $1 < p < \infty$ に対して消える。
• この結果は、Gromov が予想した、すべての有限生成アメーブル群が $1 < p < \infty$ に対して自明な最初の還元された $\ell^p$-コホロロジーを持つという仮説を裏付ける。
• すべての同調的で無限に閉じたリーマン多様体上で最初の還元された $L^p$-コホロロジーは消える。これは Pansu の予想を証明する。
• 有界幾何を持つGromov 超曲幾何的測地的距離測度空間に、双リプシッツに埋め込まれた3正則木が存在するならば、十分に大きな $p$ に対して最初の還元された $L^p$-コホロロジーは非自明である。
• 連結リー群が $1 < p < \infty$ のある $p$ に対して非ゼロの最初の還元された $L^p$-コホロロジーを持つのは、それが Gromov 超曲幾何的であるときかつそのときに限りである。
• 主結果と Pansu の研究の組み合わせにより、ある $1 < p < \infty$ に対して最初の還元された $L^p$-コホロロジーが非ゼロである多様体が、Gromov 超曲幾何的同調的多様体であることが特徴づけられる。