[論文レビュー] Gravimetry, Relativity, and the Global Navigation Satellite Systems

Albert Tarantola, Ludĕk Klimeš+2 more|ArXiv.org|May 23, 2009

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、衛星信号の到着時刻から導かれる4つの時間的座標として空間時空座標を対称的に扱う、完全に相対論的であるがゆえに、追加的な『相対論的補正』を必要としないGNSS（全球衛星測位システム）のフレームワークを提案する。位置決定と重力場推定が、衛星の時計、加速度計、ジャイロスコープ、グラディオメーターのデータを用いた相対論的最適化アルゴリズムを通じて内蔵的に結合された、統一的かつ自己整合的なシステムが主な貢献である。

ABSTRACT

Relativity is an integral part of positioning systems, and this is taken into account in today's practice by applying many "relativistic corrections" to computations performed using concepts borrowed from Galilean physics. A different, fully relativistic paradigm can be developed for operating a positioning system. This implies some fundamental changes. For instance, the basic coordinates are four times (with a symmetric meaning, not three space coordinate and one time coordinate) and the satellites must have cross-link capabilities. Gravitation must, of course, be taken into account, but not using the Newtonian theory: the gravitation field is, and only is, the space-time metric. This implies that the positioning problem and the gravimetry problem can not be separated. An optimization theory can be developed that, because it is fully relativistic, does not contain any "relativistic correction". We suggest that all positioning satellite systems should be operated in this way. The first benefit of doing so would be a clarification and a simplification of the theory. We also expect, at the end, to be able to run the positioning systems with increased accuracy.

研究の動機と目的

• 現在のGNSSシステムの代替として、一般相対性理論をコア設計に直接組み込むことで、追加的な『相対論的補正』を回避する完全に相対論的なフレームワークの開発を目的とする。
• 空間時空計量を位置決定と重力場推定の両方の基本的対象として扱うことで、位置決定と重力測定を統合する。
• 4つの同期化された時計が自らの固有時を放送する新しい座標系を定義し、すべての観測者に対してリアルタイムで自己整合的な軌道決定を可能にする。
• 時計、加速度計、ジャイロスコープ、グラディオメーターのマルチセンサーデータを統合し、時空幾何学と運動の同時推定を実現する1つの最適化フレームワークを構築する。
• 時計の精度が10^18に近づくにつれ、ニュートン的補正に基づく後ニュートン的枠組みがますます不十分になることが示され、完全に相対論的な手法の必要性が明確になる。

提案手法

• 本論文は、4つの独立した時計（衛星）からの信号の到着時刻によって定義される対称的な4時間座標系を導入し、各観測者の位置が受信した4つの時刻によって決定されることを示す。
• 空間時空計量を唯一の重力場とみなすことで、ニュートン的重力の代わりに完全なアインシュタイン方程式を用い、信号の伝播と時間遅れを計量を用いて計算する。
• 観測された信号到着時刻、固有時、加速度計、ジャイロスコープ、グラディオメーターのデータとの差異を総合した全誤差関数を構築し、すべてのデータを計量摂動の言語で表現する。
• 全誤差関数を最小化するためのニュートン型反復アルゴリズムを採用し、各データタイプ（到着時刻、加速度、回転、曲率）に対して勾配更新を計算するための転置作用素を導出する。
• 各センサー種別（例：加速度計、ジャイロスコープ、グラディオメーター）の転置作用素を解析的に導出し、共変微分と接続項を用いて測定残差を計量摂動に逆変換する。
• 同じ衛星データを位置決定と重力場測定の両方の出力源として扱うことで、GNSSと重力測定のシームレスな統合を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニュートン的物理学に依存し、それに追加的な相対論的補正を加えるのではなく、完全に相対論的であるがゆえに、最初から相対論的定式化を採用するGNSSを設計することは可能か？
• RQ2 衛星信号の到着時刻から得られる4つの時間座標を用いて、リアルタイムでの自己整合的かつ対称的な時空座標系を定義する方法は何か？
• RQ3 マルチセンサー衛星データを用いて時空軌道と時空計量を同時に推定する最適化問題の数学的構造はどのようなものか？
• RQ4 異なるセンサー種別（加速度計、ジャイロスコープ、グラディオメーター）の転置作用素は、相対論的枠組みの中で測定残差を計量摂動にどのように逆変換するか？
• RQ5 10^18の精度を持つ光時計を用いる場合、完全に相対論的枠組み下での将来のGNSSおよび重力測定システムの設計にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 本論文は、4つの独立した時計からの信号の到着時刻によって定義される対称的な4時間座標系が、外部基準フレームに依存せず、自己整合的かつリアルタイムに任意の観測者の時空軌道を決定する方法を提供することを確立している。
• 一般相対性理論を位置決定と重力測定プロセスに直接組み込むことで、『相対論的補正』の必要性が排除され、理論がすべてのレベルで根本的に整合的になる。
• 全誤差関数は、時計、加速度計、ジャイロスコープ、グラディオメーターのデータを1つの最適化フレームワークに統合し、各データタイプの転置作用素の解析的表現が導出されている。
• 到着時刻、加速度、回転、曲率のデータに対する転置作用素が、共変微分と計量摂動を用いて明示的に導出されており、時空計量の勾配に基づく最適化を可能にしている。
• 本フレームワークは、GOCE、Gravity Probe B、LISAなどの既存および将来のミッションに適用可能であり、高精度な宇宙基準の重力測定とナビゲーションにおいてその関連性を示している。
• 著者らは、将来的なGNSSシステムが、時計精度が10^18に近づくにつれ、この完全に相対論的な手法を必然的に採用するようになると予測している。相対論的効果は避けられず、システム設計の根本的転換が不可避となる。